Enunciado

Mostre que a sequência definida por

a 1 = 2 ,           a n + 1 = 1 3 - a n

satisfaz 0 < a n ≤ 2 e é decrescente. Deduza que a sequência é convergente e encontre seu limite.

Passo 1

E aê, galera? Nessa questão queremos mostrar que a sequência do enunciado satisfaz 0 < a n ≤ 2 e é decrescente, certo? Depois a questão pede para deduzirmos que a n é convergente e encontrarmos seu limite.

Resumindo, vamos precisar fazer os seguintes passos:

  1. Mostrar que a sequência do enunciado é decrescente e satisfaz 0 < a n ≤ 2
  2. Deduzir que a n é convergente;
  3. Calcularmos seu limite.

Show? Então vamos láááá!!!!

Passo 2

Primeiro vamos provar que a sequência é decrescente, usando indução. Igual nas questões anteriores, a ideia é provar que a afirmação é verdadeira para o primeiro número natural (no caso, n = 1 ) e, em seguida, assumir que é verdadeira para um número k   qualquer e provar que ela é verdadeira para k + 1 . Com isso, concluímos que a afirmação é verdadeira para todos os números naturais. Sacou?

A afirmação que queremos provar é que a n + 1 < a n , para todo n ≥ 1 . Então, primeiro, vamos verificar se vale pra n = 1 , beleza?

Para n = 1 :

a 2 = 1 3 - a 1 = 1 3 - 2 = 1 < a 1

Então a afirmação vale para n = 1 . Beleza?

Agora, a gente supõe que vale para n = k :

a k + 1 < a k

Se a partir dessa suposição, a gente conseguir provar que vale para n = k + 1 , ou seja, que a k + 1 + 1 < a k + 1 , então completamos a indução, beleza?

a k + 1 + 1 = 1 3 - a k + 1

Usando a hipótese   a k + 1 < a k , vamos multiplicar ambos os lados da desigualdade por - 1 para inverter os sinais, preservando a desigualdade. Isso nos dá

- a k + 1 > - a k

Adicionando 3 em ambos os lados da desigualdade:

3 - a k + 1 > 3 - a k

Considerando o inverso de ambos os lados da desigualdade

1 3 - a k + 1 < 1 3 - a k

Que é o mesmo que

a k + 1 + 1 < a k + 1

Então acabamos de provar por indução que a sequência é decrescente!

Passo 3

Show! Agora, bora mostrar que a sequência satisfaz 0 < a n ≤ 2 ?

Como a 1 = 2 e a sequência é decrescente, então com certeza a n ≤ 2 . Agora também usaremos indução pra provar que a n > 0 . Como a 1 = 2 > 0 , a afirmação já vale pra n = 1 , né?

Agora, vamos supor que vale pra n = k :

a k > 0

Será que vale pra n = k + 1 ?

- a k < 0

Adicionando 3 a ambos os lados da desigualdade,

3 - a k < 3

Tomando o inverso de ambos os lados da desigualdade, temos

1 3 - a k > 1 3

Que é o mesmo que

a k + 1 > 1 3 > 0

Ou seja, isso significa que o próximo termo da sequência é positivo. Portanto, a relação estabelecida para n = k também se mantém para n = k + 1 . Então está provado!

Passo 4

Agora queremos deduzir que a sequência é convergente. Para isso, existe um teorema (Teorema da Sequência Monótona) que nos diz que toda sequência monótona (crescente ou decrescente) e limitada é convergente, ou seja, tem um limite.

Como já dito, nossa sequência satisfaz as condições do Teorema, pois é monótona (decrescente) e limitada ( 0 < a n ≤ 2 ). Então, isso mostra que a n é convergente!

Passo 5

Agora vamos ao cálculo do limite da sequência. Pra isso, podemos tomar o limite no infinito dos dois lados da equação que mostra a relação de recorrência entre os termos da sequência:

a n + 1 = 1 3 - a n

Tomando os limites, temos

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 = l i m n → ∞   1 3 - a n

Lembrando que podemos usar o seguinte fato para sequências convergentes:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 = lim n → ∞ ⁡ a n

Assim,

lim n → ∞ ⁡ a n = l i m n → ∞   1 3 - a n

Usando a propriedade de continuidade:

lim n → ∞ ⁡ a n = 1 3 - lim n → ∞ ⁡ a n

Pra ficar mais intuitivo de resolver essa equação, vamos chamar o limite de L , beleza?

L = 1 3 - L

3 L - L 2 = 1

L 2 - 3 L + 1 = 0

L = 3 ± 5 2

L + ≈ 2,618       e       L - ≈ 0,381

Como o primeiro termo da sequência é a 1 = 2 e a sequência é decrescente, o limite jamais poderia ser maior do que 2 , então eliminamos a raiz L +   ,   o que nos dá:

lim n → ∞ ⁡ a n = 3 - 5 2

Show de bolaa?!

Resposta

lim n → ∞ ⁡ a n = 3 - 5 2

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