Enunciado

Mostre que a área da região no primeiro quadrante circundada pela curva y = 1 a cosh ⁡ a x , os eixos coordenados e a reta x = b é a mesma que a área de um retângulo de altura 1 a e comprimento s, onde s é o comprimento da curva de x = 0 até x = b . Ilustre esse resultado com uma figura.

Passo 1

Para encontrar o comprimento da curva, usamos a fórmula do comprimento:

L =   ∫ a b 1 + f ' x 2 d x

Temos que y ' = s e n h   a x então, substituímos, lembrando que só estamos considerando valores do primeiro quadrante...

  L =   ∫ 0 b 1 + s e n h   a x 2 d x  

Usando a identidade trigonométrica 1 + s e n h 2 x = cosh 2 ⁡ x , ficamos com:

L =   ∫ 0 b cosh ⁡ a x d x = 1 a s e n h   a x ] b 0

L = 1 a s e n h   a b - 1 a s e n h   a ∙ 0 = 1 a s e n h   a b

Então a área do retângulo de altura 1 a e comprimento L é dada por:

A r e t = 1 a 1 a s e n h   a b = 1 a 2 s e n h   a b

Passo 2

Vamos para a área da função agora. A área sobre a curva é dada por:

A =   ∫ 0 b 1 a cosh ⁡ a x   d x

A = 1 a 2 s e n h   a x ] b 0

A = 1 a 2 s e n h   a b - 1 a 2 s e n h   a ∙ 0 = 1 a 2 s e n h   a b

Então, A = A r e t , ou seja, a área sobre a curva é igual a área do retângulo com altura igual a 1 a e comprimento igual a s , como queríamos mostrar.

Passo 3

A ilustração desse resultado pode ser visto no gráfico a seguir:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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