Enunciado

Demonstre que , quando x   →   ∞ ,   ln ⁡ x   cresce mais lentamente do que x 1 / n   para qualquer n inteiro positivo, ate mesmo x 1 / 1000000

Passo 1

Temos uma questão sobre crescimentos de funções e um limite. Isso te lembra alguma coisa ?

E se eu te der uma dica que crescimento de funções são as derivadas?

Isso mesmo é uma questão de L’Hopital. O teorema que mais ajuda a nossa vida em calculo 1.

Então vamos montar nosso problema. Se fizermos :

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x   x 1 / 1000000  

Esperamos que esse vamos de zero. Porque X crescer mais rápido então no infinito ele será maior.

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x   x 1 / 1000000   =   lim x → ∞ ⁡ 1 x 1 1000000 x 1 1000000 - 1    

lim x → ∞ ⁡ 1000000 x   .   x 1 1000000 - 1   → 0

Prontinho. : )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja f x = x + e x e seja g a inversa de f . Mostre que g é derivável e que g ' x = 1 1 + e g x .(Sugestão: Veja Exercício 13 - 8.1 )
Verifique que. d d x x 3 3 arcsen ⁡ x + x 2 + 2 9 1 - x 2 = x 2 arcsen ⁡ x
Verifique que. d d x - 1 2 arcsen ⁡ 2 - x x 2 = 1 x x 2 + 4 x - 4
Verifique que. d d x x + 1 arctg ⁡ x - x = arctg ⁡ x
(Função arco-secante. A função f x = sec ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π 2 é inversível e sua inversa é a função g x = arcsec ⁡ x , x ≥ 1 . Calcule arcsec ' ⁡ x .