Enunciado

Mostre que a área da superfície de uma zona de uma esfera entre dois planos paralelos é S = π d h , em que d é o diâmetro da esfera e h , a distância entre os planos. (Observe que S depende apenas da distância entre os planos e não de sua localização, desde que ambos os planos interceptem a esfera.)

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa querida atividade.

Precisamos lembrar da equação de uma esfera, beleza?! A equação da esfera é da forma

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

Sabemos que R = 1 2 d , então

x 2 + y 2 + z 2 = 1 4 d 2

Vamos agora, dizer que os planos interceptam a esfera nas retas y = c e y = c + h .

Podemos fazer um gráfico dos interceptos da esfera no eixo x y (transformar o desenho para 2D)

Dessa forma, podemos calcular a área da superfície da uma zona da esfera entre os dois planos como a rotação dessa curva em torno do eixo y .

Passo 2

Em 2D, a esfera vira um círculo, e o círculo tem como equação

x 2 + y 2 = 1 4 d 2

Você se lembra de como calculamos a área de uma superfície gerada pela revolução de uma curva y em torno do eixo y ? Não?! Então vamos relembrar. Temos que a área S é dada por

S = ∫ a b 2 π x 1 + x ' 2 d y

Então, na equação do círculo, vamos calcular a derivada em relação a y

2 x d x d y + 2 y = 0  

x d x d y = - y

d x d y = - y x

Então, a área é

S = ∫ c c + h 2 π x 1 + y 2 x 2 d y

Retirando a constante da integral:

= 2 π ∫ c c + h x 1 + y 2 x 2 d y

Colocando x para dentro da raiz:

= 2 π ∫ c c + h 1 + y 2 x 2 x 2 d y

Simplificando:

= 2 π ∫ c c + h x 2 + y 2 d y

Sabendo que x 2 + y 2 = 1 4 d 2 :

= 2 π ∫ c c + h 1 4 d 2 d y

= 2 π ∫ c c + h 1 2 d d y

Realizando a integração

= 2 π 1 2 d c + h - c

= 2 π d h  

Resposta

2 π d h

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