Enunciado

Descreva a mudança no gráfico de   f à medida que c varia. Faça o gráfico de vários membros da família para ilustrar as tendências que você descobriu. Em particular, você deve investigar como os pontos de máximo e mínimo e os pontos de inflexão movem-se quando c varia. Você deve também identificar qualquer valor intermediário de c no qual o aspecto básico da curva mude.

f x = 1 1 - x 2 2 + c x 2

Passo 1

Note que f é uma função par, pois f x = f ( - x ) , e que lim x → ± ∞ ⁡ f ( x ) = 0 para qualquer valor de c , então y = 0 é uma assíntota horizontal.

Passo 2

Calculando as derivadas:

f ' x = - 4 1 - x 2 x + 2 c x 1 - x 2 + c x 2 2 = 4 x x 2 + 1 2 c - 1 [ 1 - x 2 2 + c x 2 ] ²

f ' ' x = 2 10 x 6 + 9 c - 18 x 4 + 3 c 2 - 12 c + 6 x 2 + 2 - c [ x 4 + c - 2 x 2 + 1 ] ³

Nós consideramos primeiro o caso de c > 0 . Então, o denominador de f ' é positivo, que é 1 - x 2 2 + c x 2 > 0 para todo x , então f tem domínio nos reais e também f > 0 .

Se 1 2 c - 1 ≥ 0 , c ≥ 2 , então o único ponto crítico é f 0 = 1 , um máximo. Colocando no gráfico alguns exemplos para c ≥ 2 temos dois pontos de inflexão que se aproximam do eixo y com c → ∞ :

Passo 3

c = 2 e c = 0 são valores transitórios de c em que as formas das curvas mudam. Para 0 < c < 2 , há três pontos críticos: f 0 = 1 , um valor mínimo, e f ± 1 - 1 2 c = 1 c 1 - c 4 , ambos valores máximos. Conforme c decresce de 0 a 2 , o valor máximo fica cada vez maior, e os valores de x em que eles ocorrem vão de 0 a ± 1 .

O gráfico mostra que há quatro pontos de inflexão para 0 < c < 2 , e eles ficam cada vez mais longe da origem, verticalmente e horizontalmente, quando c → 0 + .

Para c = 0 , a função é simplesmente uma assíntota do eixo x , e das retas x = ± 1 , se aproximando de + ∞ dos dois lados. O intercepto y é 1 e ( 0,1 ) é um ponto mínimo local. Não há pontos de inflexão.

Agora, se c < 0 , podemos escrever

f x = 1 1 - x 2 2 + c x 2 = 1 1 - x 2 2 - - c x 2 = 1 x 2 - - c x - 1 x 2 + - c x - 1

Assim, f tem assíntotas verticais quando x 2 ± - c x - 1 = 0 ↔ x = - - c ± 4 - c 2 ou x = - c ± 4 - c 2 . Conforme c decresce, as duas assíntotas exteriores se movem para longe da origem enquanto as duas assíntotas interiores se movem para próximo dela. Nós podemos colocar no gráfico alguns exemplos para ver o comportamento do gráfico perto das assíntotas, e a natureza dos pontos críticos x = 0 e x = ± 1 - 1 2 c :

Nós vemos que há um valor mínimo local, f 0 = 1 , e há dois máximos locais, f ± 1 - 1 2 c = 1 c 1 - c 4 como antes. Conforme c diminui, os valores de x e que há máximos ficam maiores, e os valores máximos se aproximam cada vez mais de 0 , apesar de eles serem sempre negativos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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