Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.6 - Ex. 32
Descreva a mudança no gráfico de à medida que varia. Faça o gráfico de vários membros da família para ilustrar as tendências que você descobriu. Em particular, você deve investigar como os pontos de máximo e mínimo e os pontos de inflexão movem-se quando varia. Você deve também identificar qualquer valor intermediário de no qual o aspecto básico da curva mude.
Passo 1
Note que é uma função par, pois , e que para qualquer valor de , então é uma assíntota horizontal.
Passo 2
Calculando as derivadas:
Nós consideramos primeiro o caso de . Então, o denominador de é positivo, que é para todo , então tem domínio nos reais e também .
Se , , então o único ponto crítico é , um máximo. Colocando no gráfico alguns exemplos para temos dois pontos de inflexão que se aproximam do eixo com :
Passo 3
e são valores transitórios de em que as formas das curvas mudam. Para , há três pontos críticos: , um valor mínimo, e , ambos valores máximos. Conforme decresce de a , o valor máximo fica cada vez maior, e os valores de em que eles ocorrem vão de a .
O gráfico mostra que há quatro pontos de inflexão para , e eles ficam cada vez mais longe da origem, verticalmente e horizontalmente, quando
Para , a função é simplesmente uma assíntota do eixo , e das retas , se aproximando de dos dois lados. O intercepto é e é um ponto mínimo local. Não há pontos de inflexão.
Agora, se , podemos escrever
Assim, tem assíntotas verticais quando ou . Conforme decresce, as duas assíntotas exteriores se movem para longe da origem enquanto as duas assíntotas interiores se movem para próximo dela. Nós podemos colocar no gráfico alguns exemplos para ver o comportamento do gráfico perto das assíntotas, e a natureza dos pontos críticos e
Nós vemos que há um valor mínimo local, , e há dois máximos locais, como antes. Conforme diminui, os valores de e que há máximos ficam maiores, e os valores máximos se aproximam cada vez mais de , apesar de eles serem sempre negativos.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)