Enunciado

Mostre que cada uma das seguintes funções é uma solução da equação da onda u t t = a 2 u x x .

(b) u = t / a 2 t 2 - x 2

Passo 1

Show de bola, galera! Não tem mistério....Se repararmos bem a nossa equação diferencial parcial, precisaremos calcular somente u t t e u x x , e verificar se a equação é satisfeita. Simples assim.

Partiu fazer essas contas?

Passo 2

u t = ∂ u ∂ t = ∂ ∂ t t / a 2 t 2 - x 2 = - x 2 + a 2 t 2 a 2 t 2 - x 2 2

u t t = ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ ∂ t ∂ u ∂ t = ∂ ∂ t - x 2 + a 2 t 2 a 2 t 2 - x 2 2 = 2 t ( a 4 t 2 + 3 a 2 x 2 ) ( a 2 t 2 - x 2 ) 3

u x = ∂ u ∂ x = ∂ ∂ x t / a 2 t 2 - x 2 = 2 t x ( a 2 t 2 - x 2 ) 2

u x x = ∂ 2 u ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ u ∂ x = ∂ ∂ x 2 t x ( a 2 t 2 - x 2 ) 2 = 2 t ( a 2 t 2 + 3 x 2 ) ( a 2 t 2 - x 2 ) 3

Passo 3

Jogando na equação:

u t t = a 2 u x x ⇒     ?     2 t a 4 t 2 + 3 a 2 x 2 a 2 t 2 - x 2 3 = a 2 2 t a 2 t 2 + 3 x 2 a 2 t 2 - x 2 3

→ 2 t ( a 4 t 2 + 3 a 2 x 2 ) ( a 2 t 2 - x 2 ) 3 = 2 t ( a 4 t 2 + 3 a 2 x 2 ) ( a 2 t 2 - x 2 ) 3 ⏟ O K  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Sejam f , g : A ∈ R 2 → R , A aberto, duas funções de classe C 2 e tais que ∂ f ∂ x = ∂ g ∂ y e ∂ f ∂ y = - ∂ g ∂ x Prove que ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0 e ∂ 2 g ∂ x 2 + ∂ 2 g ∂ y 2 = 0 .