Enunciado

Seja

f x , y = x 3 y - x y 3 x 2 + y 2 s e   x , y ≠ 0,0 0 s e   x , y = 0,0

(e) O resultado da parte (d) contradiz o Teorema de Clairaut? Use os gráficos de f x y e f y x para ilustrar sua resposta.

Passo 1

O teorema de Clairaut nos diz o seguinte: Suponha que f seja definida em uma bola aberta D que contenha o ponto ( a , b ) . Se as funções f x y e f y x são continua em D, então:

f x y a , b = f y x ( a , b )

Mas no item anterior, vimos que f x y 0,0 = - 1 e f y x 0,0 = 1 . Portanto, não atende ao Teorema de Clairaut.

– Gráfico de f x y

– Gráfico de f y x

Como podemos perceber nos gráficos, há uma descontinuidade em x , y → 0,0 , de modo que não podemos aplicar o Teorema de Clairaut.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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