Verifique que (∂^2 f / ∂x^2) + (∂^2 f / ∂y^2) = 0 , onde f(x, y) = ln(x^2 + y^2)

Passo 1

O enunciado dos dá uma função f de daus variáveis e nos pede para mostrar uma relação matemática a partir da f .

A único que devemos fazer para resolver esta questão é determinar as derivadas 2ªs da f e substituir na equação dada, então, vamos nessa!

Passo 2

É necessário que primeiramente calculemos as derivadas 2ªs da f . E não tem mistério! Só devemos ter muita calma na hora de obter as derivadas para não ir acumulando erros.

Primeiramente, as derivadas de primeira ordem dessa função são o mais fácil de obter:

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x ln ⁡ x 2 + y 2 = 1 x 2 + y 2 2 x

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y ln ⁡ x 2 + y 2 = 1 x 2 + y 2 2 y

Passo 3

Agora, com muito cuidado, vamos calcular as derivadas segundas a partir dos valores que acabamos de obter (usando a regra da cadeia!):

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 1 x 2 + y 2 2 x = 2 x ∂ ∂ x 1 x 2 + y 2 + 1 x 2 + y 2 ∂ ∂ x 2 x = 2 x - 1 x 2 + y 2 2 2 x + 1 x 2 + y 2 2

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 1 x 2 + y 2 2 y = - 1 x 2 + y 2 2 2 x 2 y

∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x = ∂ ∂ y 1 x 2 + y 2 2 x = - 1 x 2 + y 2 2 2 y 2 x

∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 1 x 2 + y 2 2 y = 2 y ∂ ∂ y 1 x 2 + y 2 + 1 x 2 + y 2 ∂ ∂ y 2 y = 2 y - 1 x 2 + y 2 2 2 y + 1 x 2 + y 2 2

Arrumando a casa um pouquinho, obtemos as derivadas segundas:

∂ 2 f ∂ x 2 = - 4 x 2 x 2 + y 2 2 + 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 = 2 y 2 - 2 x 2 x 2 + y 2 2

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x = - 1 x 2 + y 2 2 2 x 2 y

∂ 2 f ∂ y 2 = - 4 y 2 x 2 + y 2 2 + 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 = 2 x 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 2

Passo 4

Agora que o trabalho braçal ficou pra trás (ufff!) é tranquilo e favorável: vamos substituir o que obtivemos no lado esquerdo da equação dada e ver se bate com o lado direito.

Assim, temos

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 2 y 2 - 2 x 2 x 2 + y 2 2 + 2 x 2 - 2 y 2 x 2 + y 2 2

Note que os termos no numerador cancelam entre si, ou seja

∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = 0

Que é o que queríamos provar!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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