Enunciado

Mostre que f é contínua em ( - ∞ , ∞ )

f x = sin ⁡ x   s e   x < π / 4 cos ⁡ x   s e   x ≥ π / 4

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte função:

f x = 1 - x 2 ,       s e   x ≤ 1 ln ⁡ x ,       s e   x > 1

Para que o limite da função seja continua, devemos ter:

lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Isso é, o limite da função e a imagem da função deve ser o mesmo no ponto dado.

Pelo teorema 5, como f ( x ) é igual ao polinômio 1 - x 2 no intervalo ( - ∞ , 1 ] , f é contínua nesse intervalo.

Passo 2

Pelo teorema 7, como f ( x ) é igual a função logarítmica ln ⁡ x no intervalo ( 1 , ∞ ) , f é contínua nesse intervalo.

Passo 3

No ponto x = 1 temos:

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ 1 - x 2 = 1 - 1 2 = 0

lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x = ln ⁡ 1 = 0

Dessa forma, lim x → 1 ⁡ f ( x ) existe e é igual a 0. E como:

f 1 = 1 - 1 2 = 0

Então f é contínua no ponto x = 1 . Com as informações dos passos 1, 2 e 3, podemos afirmar que f é contínua no intervalo ( - ∞ , ∞ ) .

Resposta

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