Enunciado

Prove, sem usar gráficos, que o gráfico da função tem pelo menos dois pontos interceptando o eixo x no intervalo especificado.

y = sin ⁡ x 3 , 1,2

Passo 1

Olá, meu caro amigo. Vamos para mais uma resolução.

Aqui a gente precisa provar, sem gráfico, que a função

y = sin ⁡ x 3

Tem duas raízes dentro do intervalo ( 1,2 ) .

Para provar que o gráfico da função y = sin ⁡ x 3 tem pelo menos dois pontos de interceptação com o eixo x no intervalo 1,2 , podemos usar o Teorema do Valor Intermediário.

O Teorema do Valor Intermediário estabelece que se f x é contínua em um intervalo fechado a , b e f a e f b têm sinais opostos, então existe pelo menos um número   c   no intervalo a , b tal que f c = 0 , ou seja, existe um ponto em que a função cruza o eixo   x   .

Passo 2

No nosso caso, consideramos f x = sin ⁡ x 3 . Vamos dividir o intervalo ( 1,2 ) em dois, primeiro iremos aplicar o teorema em ( 1,1.5 ) e depois em ( 1,2 )

Primeiro, vamos verificar os sinais de f 1 e f 1.5 :

f 1 = sin ⁡ 1 3 = 0.84147

f 1.5 = sin ⁡ 1.5 ³ = - 0.23129

Como sin ⁡ 1 e sin ⁡ 3.375 têm sinais opostos, podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário e concluir que, existe pelo menos um ponto c no intervalo 1,1.5 onde f c = 0 , ou seja, onde o gráfico de y = sin ⁡ x 3 intercepta o eixo   x   .

Agora iremos repetir o que fizermos para o intervalo ( 1.5 ,   2 ) .

Passo 3

Primeiro, vamos verificar os sinais de f 1 . 5 e f 2 :

f 1.5 = sin ⁡ 1.5 ³ = - 0.23129

f 2 = sin ⁡ 2 ³ = 0.989359

Como sin ⁡ 1.5 e sin ⁡ 8 têm sinais opostos, podemos aplicar o Teorema do Valor Intermediário e concluir que, existe pelo menos um ponto c no intervalo 1 . 5 , 2 onde f c = 0 , ou seja, onde o gráfico de y = sin ⁡ x 3 intercepta o eixo   x   .

Então, com essas duas provas, podemos então finalmente dizer que dentro do intervalo ( 1,2 ) temos duas raízes da função:

y = sin ⁡ x 3

Resposta

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