Enunciado

Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função.

f x = 2 x 2 - 5 x - 3 x - 3 ,     x ≠ 3 6 ,     x = 3 ,               a = 3

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

O enunciado fornece uma função f e um ponto x = a e pede para justificarmos o motivo de f não ser contínua nesse ponto.

Relembrando, para uma função ser contínua em um ponto ela deve estar definida neste ponto e além disso, o valor da função neste ponto deve coincidir com o valor do limite. É isso que temos que verificar.

lim x → a ⁡ f ( x ) = f ( a )

Passo 2

Vamos calcular o limite de f quando x tende a 3 . Quando tomamos o limite, nos aproximamos de x = a = 3 por valores de x próximos de 3 porém nunca iguais a 3 . Então, a expressão que devemos usar para o limite é

2 x 2 - 5 x - 3 x - 3

Como 2 ⋅ 3 2 - 5 ⋅ 3 - 3 = 0 , temos uma indeterminação do tipo 0/0:

lim x → 3 ⁡ 2 x 2 - 5 x - 3 x - 3 ~ 0 0

Para eliminá-la, devemos fatorar o numerador.

Passo 3

Todo polinômio de segundo grau da forma a x 2 + b x + c com raízes reais pode ser fatorado na forma a x - x 1 ( x - x 2 ) onde x 1 e x 2 são as raízes. Considerando o polinômio 2 x 2 - 5 x - 3 , suas raízes são obtidas pela fórmula de Bháskara:

2 x 2 - 5 x - 3 = 0

x = - - 5 ± 25 - 4 ⋅ 2 ⋅ ( - 3 ) 2 ⋅ 2 = 5 ± 7 4

x 1 = 3 e x 2 = - 1 / 2

Assim, temos que

2 x 2 - 5 x - 3 = 2   x - 3   x + 1 2

Passo 4

Assim o limite fica

lim x → 3 ⁡ f x = lim x → 3 ⁡ 2 x 2 - 5 x - 3 x - 3

lim x → 3 ⁡ 2   x - 3   ( x + 1 2 ) x - 3

Simplificando o termo ( x - 3 ) , o limite fica

lim x → 3 ⁡ f x = lim x → 3 ⁡ 2   x + 1 2

= 2   3 + 1 2

= 2 ⋅ 7 2 = 7

Como f 3 = 6 ≠ lim x → 3 ⁡ f x , a função não é contínua em x = a = 3 .

Passo 5

O esboço do gráfico da função está abaixo e foi feito no GeoGebra:

Resposta

R: demonstração e esboço de gráfico.

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Sabe-se que f é contínua em 1 e que f 1 = 2 . Prove que existe r0 tal que para todo x ∈ D f 1 - rx1 + r ⇒ 3 2f x5 2 .
Sabe-se que f é contínua em 2 e que f 2 = 8 . Mostre que existe δ0 tal que para todo x ∈ D f 2 - δx2 + δ ⇒ f x7 .
Dê o valor (caso exista) que a função dada deveria ter no ponto dado para ser contínua neste ponto. Justifique. f x = x 2 - x x em p = 0
Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado. Justifique. f x = x 2 - 4 x - 2 s ex ≠ 2 Ls ex = 2 em p = 2
Suponha f definida e contínua em R e que f x = 0 para todo x racional. Prove que f ( x )=0 para todo x real.