Enunciado

Mostre que a curva com equações paramétricas

x = t 2   ,           y = 1 - 3 t   ,           z = 1 + t 3

passa pelos pontos 1 ,   4 ,   0 e 9 ,   - 8 ,   28 , mas não passa pelo ponto 4 ,   7 ,   - 6 .

Passo 1

Galerinha, pra verificar se uma curva passa por um ponto ou não, primeiro a gente pode escolher uma das equações paramétricas (a mais simples, geralmente), e descobrir qual valor de t corresponderia àquele ponto. Por exemplo, para o ponto 1 ,   4 ,   0 , temos y = 4 , então:

y = 1 - 3 t = 4

3 t = - 3

t = - 1

Passo 2

Agora, vejamos se esse mesmo valor de t = - 1 nos dará x = 1 e z = 0 :

x = t 2 = - 1 2 = 1

z = 1 + t 3 = 1 + - 1 3 = 1 + - 1 = 0

Sim! O ponto 1 ,   4 ,   0 faz parte da curva.

Passo 3

Show! Vamos repetir o processo para o ponto 9 ,   - 8 ,   28 :

y = 1 - 3 t = - 8

t = 3

x = t 2 = 3 2 = 9

z = 1 + t 3 = 1 + 3 3 = 28

Certo! O ponto 9 ,   - 8 ,   28 também faz parte da curva.

Passo 4

Agora, o mesmo processo para o ponto 4 ,   7 ,   - 6 :

y = 1 - 3 t = 7

t = - 2

x = t 2 = - 2 2 = 4

z = 1 + t 3 = 1 + - 2 3 = 1 + - 8 = - 7

Vish! De acordo com nosso valor de t , teríamos que ter z = - 7 , mas o ponto 4 ,   7 ,   - 6 corresponde a z = - 6 . Então esse ponto não pode fazer parte da curva, entendeu?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T ( t ) e N ( t ) . (b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. r t = 2 t ,e t , e - t
Encontre os vetores T , N e B no ponto indicado. r t = e t , e t sen ⁡ t , e t cos ⁡ t , ( 1,0 , 1 )
Em que pontos a curva r → t = t i → + 2 t - t 2 k → intercepta o parabolóide z = x 2 + y 2 ?
Use um computador para esboçar o gráfico da curva com a equação vetorial dada. Certifique-se de escolher um parâmetro para o domínio e pontos que revelem a verdadeira natureza da curva.
Em que pontos a hélice r → t = sen ⁡ t i → + cos ⁡ t j → + t k → intercepta a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 5 ?