Enunciado

Mostre que a curva r = sen ⁡ θ tg ⁡ θ (denominada cissoide de Diocles) tem a reta x = 1 como uma assíntota vertical. Mostre também que a curva está inteiramente dentro da faixa vertical   0 ≤ x ≤ 1 . Use esses fatos para ajudar a esboçar a cissoide.

Passo 1

Assim como nas duas últimas questões, o enunciado pede para que a gente prove uma assíntota. Para isso precisaremos provar o limite

lim r → ± ∞ ⁡ x = 1

Além disso ele quer que a gente prove que toda a curva da função esteja entre as faixas x = 0 e x = 1 . Para isso, precisamos provar que nos quadrantes 1 e 4 a função seja positiva, que nos quadrantes 2 e 3 ela seja negativa e também que em todos os quadrantes ela não passe da faixa x = 1 .

Passo 2

Primeiramente achando x vamos manipular a equação

r = sen ⁡ θ tg ⁡ θ

Para isso usaremos

x = r ⋅ c o s   θ

Substituindo o r nessa equação temos que

x = sen ⁡ θ tg ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ

Sabemos que tg ⁡ θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ , então

x = sen 2 ⁡ θ

Passo 3

Agora a gente precisa de uma sacada monstra, precisamos calcular o l i m ⁡ x quando r → ± ∞ , mas nós temos o x em função de θ . Para conseguirmos calcular vamos ter que achar qual valor de θ para que nosso r → ∞ .

Pensando primeiro no r → + ∞ . Para que isso ocorra, precisamos que sen ⁡ θ tg ⁡ θ → + ∞ . Primeiro precisamos que sen ⁡ θ tg ⁡ θ seja positivo e pra que isso ocorra vamos pensar o seguinte:

sen ⁡ θ tg ⁡ θ = sen ⁡ θ sen ⁡ θ cos ⁡ θ = sen 2 ⁡ θ cos ⁡ θ

Para isso ser positivo, ou tanto o seno e o cosseno são positivos, ou só seno é negativo.

Outra coisa que precisamos é que o denominador tenda a 0 , para que nossa função tenda ao infinito. Então cos ⁡ θ → 0 e isso ocorre em θ → π 2 . Mas para que o cosseno seja positivo θ → π 2 - .

Então vamos lá:

lim r → + ∞ ⁡ x = lim θ → π 2 - ⁡ x = lim θ → π 2 - ⁡ sen 2 ⁡ θ

E para calcular esse limite, basta substituir

lim θ → π 2 - ⁡ sen 2 ⁡ θ = 1

Para r → - ∞ , basta pegarmos o outro lado de θ → π 2 que já muda o sinal da função já que quando θ → π 2 + o cosseno é negativo. Então

lim r → - ∞ ⁡ x = lim θ → π 2 + ⁡ x = lim θ → π 2 + ⁡ sen 2 ⁡ θ = 1

Então tá provado que x = 1 é uma assíntota da função r = sen ⁡ θ tg ⁡ θ .

Passo 4

Agora para provar que a função está entre as faixas x = 0 e x = 1 , vamos provar pra cada quadrante.

Para o primeiro quadrante precisamos provar que a função é positiva e que ela começa menor que 1 , pois como já provamos que x = 1 é uma assíntota, se a função começa menor que 1 , podemos afirmar que ela não passa dos limites da assíntota.

Com θ ∈ 0 , π 2 temos que tanto o seno como o cosseno são positivos para todos os valores, logo a função é positiva em todo o intervalo.

Já para o valor da função, vamos usar o ponto de partida θ = 0 , onde a função r = 0 e após esse valor a função obedesce o limite da assíntota x = 1 .

Para o segundo quadrante θ ∈ π 2 , π , a função só assume valores negativos , pois nesse intervalo o cosseno só assume valores negativos. E como eles estão no segundo quadrante, valores negativos querem dizer que a curva estará no sentido oposto, no quarto quadrante, onde x ≥ 0 . Sobre o valor a função vai começar no limite da assíntota e vai aumentar até zerar.

No terceiro quadrante é a mesma ideia do segundo. E no quarto quadrante a mesma ideia do primeiro.

Passo 5

No gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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