Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.3 - Ex. 51
Mostre que a curva (denominada cissoide de Diocles) tem a reta como uma assíntota vertical. Mostre também que a curva está inteiramente dentro da faixa vertical. Use esses fatos para ajudar a esboçar a cissoide.
Passo 1
Assim como nas duas últimas questões, o enunciado pede para que a gente prove uma assíntota. Para isso precisaremos provar o limite
Além disso ele quer que a gente prove que toda a curva da função esteja entre as faixas e . Para isso, precisamos provar que nos quadrantes e a função seja positiva, que nos quadrantes e ela seja negativa e também que em todos os quadrantes ela não passe da faixa .
Passo 2
Primeiramente achando vamos manipular a equação
Para isso usaremos
Substituindo o nessa equação temos que
Sabemos que , então
Passo 3
Agora a gente precisa de uma sacada monstra, precisamos calcular o quando , mas nós temos o em função de Para conseguirmos calcular vamos ter que achar qual valor de para que nosso .
Pensando primeiro no . Para que isso ocorra, precisamos que . Primeiro precisamos que seja positivo e pra que isso ocorra vamos pensar o seguinte:
Para isso ser positivo, ou tanto o seno e o cosseno são positivos, ou só seno é negativo.
Outra coisa que precisamos é que o denominador tenda a , para que nossa função tenda ao infinito. Então e isso ocorre em . Mas para que o cosseno seja positivo .
Então vamos lá:
E para calcular esse limite, basta substituir
Para , basta pegarmos o outro lado de que já muda o sinal da função já que quando o cosseno é negativo. Então
Então tá provado que é uma assíntota da função .
Passo 4
Agora para provar que a função está entre as faixas e , vamos provar pra cada quadrante.
Para o primeiro quadrante precisamos provar que a função é positiva e que ela começa menor que , pois como já provamos que é uma assíntota, se a função começa menor que , podemos afirmar que ela não passa dos limites da assíntota.
Com temos que tanto o seno como o cosseno são positivos para todos os valores, logo a função é positiva em todo o intervalo.
Já para o valor da função, vamos usar o ponto de partida , onde a função e após esse valor a função obedesce o limite da assíntota .
Para o segundo quadrante , a função só assume valores negativos , pois nesse intervalo o cosseno só assume valores negativos. E como eles estão no segundo quadrante, valores negativos querem dizer que a curva estará no sentido oposto, no quarto quadrante, onde . Sobre o valor a função vai começar no limite da assíntota e vai aumentar até zerar.
No terceiro quadrante é a mesma ideia do segundo. E no quarto quadrante a mesma ideia do primeiro.
Passo 5
No gráfico:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)