Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.8 - Ex. 20
Suponha que e satisfaçam as hipóteses do Teorema de Stokes, e tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Use os exercícios da seção para demonstrar o seguinte:
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Para mostrar essas identidades vamos usar o Teorema de Stokes:
Então devemos calcular o rotacional de cada integrando do lado esquerdo em cada item. Vamos começar?
- Pra mostrar essas igualdades, vamos lembrar da identidade mostrada no exercício :
Agora aplicando para e temos:
Agora vamos calcular o valor de no primeiro termo do lado direito:
Mas saca só! As derivadas mistas parciais são sempre iguais quando as derivadas de segunda ordem são continuas (condição que o enunciado garante), então temos que:
E a identidade é simplificada:
E na integral temos:
Exatamente o que queríamos mostrar!
Passo 2
Vamos para o próximo item! Agora temos para e . Aplicando na identidade do exercício :
Pelo item vimos que o primeiro termo do lado direito é zero.
Tá, mas e o segundo termo? Também vai ser! Ali temos um produto vetorial entre dois vetores iguais. Se eles são iguais, quer dizer que eles tem o mesmo módulo, direção e sentido, ou seja, são paralelos! E sabemos que um produto vetorial entre vetores paralelos é zero!
Colocando no integrando teremos:
Certo! Mostramos o segundo item! Vamos pro último?
Passo 3
O terceiro item afirma que:
Bom, procedendo da mesma forma, vamos calcular o rotacional do integrando:
Pelo exercício podemos separar em dois rotacionais:
Certo! Agora vamos aplicar a mesma propriedade que usamos no item :
Bom, parece meio confuso, mas presta atenção no primeiro e terceiro termos do lado esquerdo. Eles são exatamente o resultado que achamos no item ? Com as funções e ? São! Então esses termos são zero!
Agora ficamos com esses dois termos do lado esquerdo:
Como relembrar é viver, aqui devemos lembrar que em um produto vetorial a ordem importa! E se alterarmos a ordem no produto, o sinal se inverte! Assim ó: . Aplicando isso para e substituindo ali em cima:
E substituindo no integrando que queremos:
Beleza!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)