Enunciado

Suponha que S e C satisfaçam as hipóteses do Teorema de Stokes, e f   e   g tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Use os exercícios 24   e   26 da seção 16.5 para demonstrar o seguinte:

  1. ∫ C f ∇ g ⋅ d r → = ∬ S ∇ f × ∇ g ⋅ d S →
  2. ∫ C f ∇ f ⋅ d r → = 0
  3. ∫ C f ∇ g + g ∇ f ⋅ d r → = 0

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Para mostrar essas identidades vamos usar o Teorema de Stokes:

∫ C F → ⋅ d r → = ∬ S ∇ × F → ⋅ d S

Então devemos calcular o rotacional de cada integrando do lado esquerdo em cada item. Vamos começar?

  • Pra mostrar essas igualdades, vamos lembrar da identidade mostrada no exercício 26 :

∇ × f F → = f ∇ × F → + ∇ f × F →

Agora aplicando para f = f e ∇ g = F → temos:

∇ × f ∇ g = f ∇ × ∇ g + ∇ f × ∇ g

Agora vamos calcular o valor de ∇ × ∇ g no primeiro termo do lado direito:

∇ × ∇ g = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z ∂ g / ∂ x ∂ g / ∂ y ∂ g / ∂ z = i → ∂ ∂ y ∂ g ∂ z - ∂ ∂ z ∂ g ∂ y + j → ∂ ∂ z ∂ g ∂ x - ∂ ∂ x ∂ g ∂ z + k → ∂ ∂ x ∂ g ∂ y - ∂ ∂ y ∂ g ∂ x

Mas saca só! As derivadas mistas parciais são sempre iguais quando as derivadas de segunda ordem são continuas (condição que o enunciado garante), então temos que:

∇ × ∇ g = 0

E a identidade é simplificada: ∇ × f ∇ g = f ∇ × ∇ g + ∇ f × ∇ g

∇ × f ∇ g = ∇ f × ∇ g

E na integral temos:

∫ C f ∇ g ⋅ d r → = ∬ S ∇ × f ∇ × ∇ g + ∇ f × ∇ g ⋅ d S → = ∬ S ∇ f × ∇ g ⋅ d S →

Exatamente o que queríamos mostrar!

Passo 2

Vamos para o próximo item! Agora temos para f = f e F → = ∇ f . Aplicando na identidade do exercício 26 :

∇ × f ∇ f = f ∇ × ∇ f + ∇ f × ∇ f

Pelo item ( a ) vimos que o primeiro termo do lado direito é zero.

Tá, mas e o segundo termo? Também vai ser! Ali temos um produto vetorial entre dois vetores iguais. Se eles são iguais, quer dizer que eles tem o mesmo módulo, direção e sentido, ou seja, são paralelos! E sabemos que um produto vetorial entre vetores paralelos é zero!

Colocando no integrando teremos:

∫ C f ∇ f ⋅ d r → = ∬ S ∇ × f ∇ × ∇ f + ∇ f × ∇ f ⋅ d S → = 0

Certo! Mostramos o segundo item! Vamos pro último?

Passo 3

O terceiro item afirma que:

∫ C f ∇ g + g ∇ f ⋅ d r → = 0

Bom, procedendo da mesma forma, vamos calcular o rotacional do integrando:

∇ × ( f ∇ g + g ∇ f )

Pelo exercício 24 podemos separar em dois rotacionais:

∇ × f ∇ g + ∇ × ( g ∇ f )

Certo! Agora vamos aplicar a mesma propriedade que usamos no item ( a ) :

∇ × f ∇ g + ∇ × g ∇ f = f ∇ × ∇ g + ∇ f × ∇ g + g ∇ × ∇ f + ∇ g × ∇ f

Bom, parece meio confuso, mas presta atenção no primeiro e terceiro termos do lado esquerdo. Eles são exatamente o resultado que achamos no item ( a ) ? Com as funções ∇ g e ∇ f ? São! Então esses termos são zero!

Agora ficamos com esses dois termos do lado esquerdo:

∇ × f ∇ g + ∇ × g ∇ f = ∇ f × ∇ g + ∇ g × ∇ f

Como relembrar é viver, aqui devemos lembrar que em um produto vetorial a ordem importa! E se alterarmos a ordem no produto, o sinal se inverte! Assim ó: a → × b → = - b → × a → . Aplicando isso para ∇ g × ∇ f = - ∇ f × ∇ g e substituindo ali em cima:

∇ × f ∇ g + ∇ × g ∇ f = ∇ f × ∇ g - ∇ f × ∇ g = 0

E substituindo no integrando que queremos:

∫ C f ∇ g + g ∇ f ⋅ d r → = ∬ S ∇ × f ∇ g + g ∇ f ⋅ d S → = 0

Beleza!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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