Enunciado

55 – 56 Mostre que as curvas dadas são ortogonais.

55.

2 x 2 + y 2 = 3 ,     x = y 2

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão deu pra gente as curvas:

2 x 2 + y 2 = 3 ,     x = y 2

E pediu pra gente mostra que elas são ortogonais.

Para duas curvas serem ortogonais as retas tangentes à cada uma delas em seu ponto de interseção precisam ter coeficiente reciprocos negativos um do outro.

O seja:

m 1 = - 1 m 2

E podemos encontra o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma curva em um determinado ponto calculando o valor de sua derivada naquele ponto.

Assim, podemos fazer:

m = d y d x

Para cada uma das curvas e depois verificar se elas são perpendiculares usando a definição vista acima.

Então, vamos nessa.

Passo 2

Primeiro vamos achar os pontos de interceção dessas funções:

2 x 2 + y 2 = 3 ,     x = y 2

Ou seja, temos que 2 x 2 + y 2 = 3 e sabemos que x vale   x = y 2 , então podemos reescrever a primeira equação dessa forma:

2 x 2 + x = 3

2 x 2 + x - 3 = 0

Resolvendo essa equação de segundo grau, temos que:

x 1 = 1

e

x 2 = - 3 2

Mas como x = y 2 , o x só pode ser positivo, então vamos ignorar esse segundo valor de x .

Passo 3

Agora vamos atrás dos coeficiente angulares de cada curva fazendo

m = d y d x

Para a primeira curva, temos:

2 x 2 + y 2 = 3

Como y não está isolada, podemos derivar implicitamente. Ou seja, vamos derivar dos dois lados cada um dos termos em relação a x . Assim:

d d x 2 x 2 + y 2 = d d x 3

Derivada da soma é a soma das derivadas:

d d x 2 x 2 + d d x y 2 = d d x 3

4 x + d d x y 2 = 0

Para derivarmos y 2 precisamos utilizar a regra da cadeia, já que y é uma função de x . Essa regra diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' = f ' g ⋅ g '

Nesse caso a função de fora é o quadrado que está no y e a função de dentro é o próprio y , então podemos escrever essa derivada como sendo:

y 2 ' = 2 y ⋅ y '

E nossa equação se torna:

4 x + 2 y ⋅ y ' = 0

Isolando y ' :

2 y ⋅ y ' = - 4 x

y ' = - 4 x 2 y

E simplificando:

m 1 = y ' = - 2 x y

Passo 4

Agora vamos derivar a segunda equação:

d d x x = d d x y 2

Já fizemos a derivada de y 2 , ela fica:

1 = 2 y ⋅ y '

Isolando y ' :

m 2 = y 2 ' = 1 2 y

Show.

Passo 5

Agora vamos comparar os dois coeficiente que encontramos.

Perceba que as derivadas não são sempre inversas e com sinal contrário, vamos achar os pontos onde elas são ortogonais:

m 1 = - 1 m 2

- 2 x y = - 1 1 2 y

Invertendo o 1 / 2 y e cortando os sinais dos dois lados:

2 x y = 2 y

Podemos cortar o 2 dos dois lados:

x y = y

E isolar o x :

x = y 2

Então como sabemos que x = 1 na interceção, vamos descobrir em quais pontos essas curvas são ortogonais:

1 = y 2

y = ± 1

Ou seja, essas curvas são ortogonais nos pontos: 1,1 e 1 , - 1

Que coincide como os ponto de intercessão que encontramos no passo 2.

Resposta

As curvas são ortogonais, pela demonstração, nos pontos 1,1 e 1 , - 1 .

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