Use a derivação implícita para determinar dy/dx em

xy = cotg(xy)

Passo 1

Para obtermos o termo d y / d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

d d x f x = d f d x ⋅ d x d x = d f d x

d d x g y = d g d x ⋅ d y d x

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y / d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

x y ' = [ c o t g ( x y ) ] '

Temos que derivar funções trigonométricas agora. O procedimento continua exatamente o mesmo. Basta visualizar como regra da cadeia. A derivada da função de fora c o t g u aplicada a de dentro ( x y ) vezes a derivada da de fora. Temos então:

x y ' = - cos sec 2 ⁡ ( x y ) ⋅ [ x y ] '

Precisamos agora aplicar a regra do produto. Então:

x ' y + x y ' = - cossec 2 ⁡ ( x y ) ⋅ ( x ' y + x [ y ] ' )

y + x ⋅ d y d x = - cossec 2 ⁡ ( x y ) ⋅ ( y + x ⋅ d y d x )

x ⋅ 1 + cossec 2 ⁡ x y ⋅ d y d x = y ⋅ cossec 2 ⁡ x y + 1

d y d x = - y x  

Resposta

d y d x = - y x

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