Enunciado

Use a derivação implícita para determinar d y // d x em

x^3 - x y + y^3 = 1

Passo 1

Para obtermos o termo d y // d x , devemos derivar a função implicitamente em relação a variável x . Derivação implícita é simples, pois ela segue os mesmos procedimentos e regras de uma derivação normal. Considerando tanto x quanto y como variáveis, vamos utilizar as regras do produto, quociente, da cadeia e todas as outras normalmente. Devemos ter apenas um único cuidado. Veja abaixo as derivadas das funções f ( x ) e g ( y )

(d)/(d x) f (x) = (d f)/(d x) * (d x)/(d x) = (d f)/(d x)

(d)/(d x) g (y) = (d g)/(d x) * (d y)/(d x)

Ao derivarmos as funções que depende de x , derivamos elas normalmente. Já ao derivarmos as funções de y , podemos derivá-las normalmente também. Entretanto, não podemos esquecer de multiplicar ao final por d y // d x !

Vejamos abaixo na prática como isto funciona.

Passo 2

Vamos derivar a nossa função:

[x^3 - x y + y^3]^' = [ 1 ] '

[x^3]^' - [x y]^' + [y^3]^' = 0

Aplicando a regra do produto, temos:

[x^3]^' - ([x]^' y + x [y]^') + [y^3]^' = 0

3 x^2 - (y + x * (d y)/(d x)) + 3 y^2 * (d y)/(d x) = 0

- x * (d y)/(d x) + 3 y^2 * (d y)/(d x) = y - 3 x^2

(- x + 3 y^2) * (d y)/(d x) = y - 3 x^2

(d y)/(d x) = (y - 3 x^2)/(3 y^2 - x)

Resposta

(d y)/(d x) = (y - 3 x^2)/(3 y^2 - x)

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A função y = f x é dada implicitamente pela equação 3 y 2 + 2 x y - x 2 = 3 . Sabe-se que, para todo x ∈ D f , f x0 e que f admite uma reta tangente T paralela à reta 5 y - x = 2 . Determine T .
Verifique que y 0 x + x 0 y = 2 é a equação da reta tangente à curva x y = 1 no ponto x 0 , y 0 , x 00 . Conclua que x 0 , y 0 é o ponto médio do segmento A B , em que A e B são interseções da reta ta
A reta tangente à curva x 2 3 + y 2 3 = 1 , no ponto x 0 , y 0 , x 00 e y 00 , intercepta os eixos x e y nos pontos A e B , respectivamente. Mostre que a distância de A e B não depende de x 0 , y 0 .
Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãoi) x e y + x y = 3
Expresse d y d x em termos de x e de y , onde y = f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equaçãom) 2 y + sen ⁡ y = x