Enunciado

55 – 56 Mostre que as curvas dadas são ortogonais.

56. x 2 - y 2 = 5 ,     4 x 2 + 9 y 2 = 72

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão deu pra gente as curvas:

x 2 - y 2 = 5 ,     4 x 2 + 9 y 2 = 72

E pediu pra gente mostra que elas são ortogonais.

Para duas curvas serem ortogonais as retas tangentes à cada uma delas em seu ponto de interseção precisam ter coeficiente reciprocos negativos um do outro.

O seja:

m 1 = - 1 m 2

E podemos encontra o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma curva em um determinado ponto calculando o valor de sua derivada naquele ponto.

Assim, podemos fazer:

m = d y d x

Para cada uma das curvas e depois verificar se elas são perpendiculares usando a definição vista acima.

Então, vamos nessa.

Passo 2

Primeiro vamos achar os pontos de interceção dessas funções:

Vamos isolar o y 2 da primeira função para substituir na segunda:

x 2 - y 2 = 5

y 2 = x 2 - 5

Colocando isso na segunda equação:

4 x 2 + 9 x 2 - 5 = 72

4 x 2 + 9 x 2 - 45 = 72

Agora vamos isolar o x :

13 x 2 = 117

x 2 = 117 13

x 2 = 9

x = ± 3

Beleza, esse é o ponto onde as curvas se encontram.

Passo 3

Agora vamos atrás dos coeficiente angulares de cada curva fazendo

m = d y d x

Para a primeira curva, temos:

x 2 - y 2 = 5

Como y não está isolada, podemos derivar implicitamente. Ou seja, vamos derivar dos dois lados cada um dos termos em relação a x . Assim:

d d x x 2 - y 2 = d d x 5

Derivada da soma é a soma das derivadas:

d d x x 2 - d d x y 2 = d d x 5

2 x - d d x y 2 = 0

Para derivarmos y 2 precisamos utilizar a regra da cadeia, já que y é uma função de x . Essa regra diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

F x = f g x

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

F ' = f ' g ⋅ g '

Nesse caso a função de fora é o quadrado que está no y e a função de dentro é o próprio y , então podemos escrever essa derivada como sendo:

y 2 ' = 2 y ⋅ y '

E nossa equação se torna:

2 x - 2 y ⋅ y ' = 0

Isolando y ' :

- 2 y ⋅ y ' = - 2 x

y ' = 2 x 2 y

E simplificando:

m 1 = y ' = x y

Passo 4

Agora vamos derivar a segunda equação:

4 x 2 + 9 y 2 = 72

d d x 4 x 2 + 9 y 2 = d d x 72

Derivada da soma é a soma das derivadas:

d d x 4 x 2 + d d x 9 y 2 = d d x 72

8 x + 9 d d x y 2 = 0

Já fizemos a derivada de y 2 , ela fica:

8 x + 9 2 y ⋅ y ' = 0

Isolando y ' :

18 y ⋅ y ' = - 8 x

y ' = - 8 x 18 y

m 2 = y ' = - 4 x 9 y

Passo 5

Vamos achar os pontos onde elas são ortogonais:

m 1 = - 1 m 2

x y = - 1 - 4 x 9 y

Invertendo o - 4 x y e cortando os sinais:

x y = 9 y 4 x

4 x 2 = 9 y 2

Então como sabemos que x = ± 3 na interceção, vamos descobrir em quais pontos essas curvas são ortogonais:

4 ± 3 2 = 9 y 2

9 y 2 = 4 9

Cortanto o 9 dos dois lados:

y 2 = 4

y = ± 2

Ou seja, essas curvas são ortogonais nos pontos: ± 3 , ± 2

Resposta

As curvas são ortogonais, pela demonstração, nos pontos ± 3 , ± 2 .

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