Enunciado

Mostre que as curvas r = a sen ⁡ θ e r = a cos ⁡ θ   se interceptam nos ângulos retos.

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver juntos essa atividade.

Aqui a gente tem as curvas:

r = a sen ⁡ θ

E

r = a cos ⁡ θ

E queremos prova que quando elas se interceptam, isso acontece em um ângulo reto, isso é, ângulo de 90 º .

Se queremos mostrar que duas curvas se interceptam, a primeira coisa que precisamos fazer é igualar as duas equações para encontrar os ângulos em que eles se encontram.

a sen ⁡ θ = a cos ⁡ θ

sen ⁡ θ = cos ⁡ θ

θ = π 4 , 5 π 4

Outro ponto em que elas vão se interceptar é na origem quando r = 0 , que apesar de não existir um ângulo onde sen ⁡ θ = cos ⁡ θ = 0 , a origem em si, o ponto, em coordenadas polares, é considerado um ponto de todas as angulações, como ele não tem distância, não tem diferença.

Logo, os pontos de intersecção dessa curva são r = 0 ,   θ = π 4 e θ = 5 π 4 .

Então, o que iremos fazer aqui, depois de termos descoberto os pontos de interseção entre essas curvas em um ponto tangente delas, é descobrimos qual é o ângulo dessa tangencia, e como você bem sabe, tangencia e ângulo nos remete a derivadas.

Passo 2

Para descobrirmos o ângulo de intersecção vamos calcular a inclinação da tangente em cada ponto. Para isso, vamos usar a fórmula:

d y d x = d r d θ sen ⁡ θ + r c o s   θ d r d θ cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ

Para derivar as curvas vamos chamar de curva 1 a curva

r 1 = a sen ⁡ θ

e de curva 2 a curva

r 2 = a cos ⁡ θ

Vamos também chamar a inclinação da curva 1 de m 1 e a inclinação da curva 2   de m 2 . Então,

m 1 = d r 1 d θ sen ⁡ θ + r 1 c o s   θ d r 1 d θ cos ⁡ θ - r 1 sen ⁡ θ

m 1 = acos ⁡ θ sen ⁡ θ + r 1 c o s   θ acos ⁡ θ cos ⁡ θ - r 1 sen ⁡ θ

m 1 = acos ⁡ θ sen ⁡ θ + a sen ⁡ θ c o s   θ acos ⁡ θ cos ⁡ θ - a sen ⁡ θ sen ⁡ θ

m 1 = 2 a sen ⁡ θ cos ⁡ θ acos 2 ⁡ θ - a sen 2 ⁡ θ

Fazendo umas simplificações trigonométricas com as relações sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ e cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

m 1 = a sen ⁡ 2 θ a cos ⁡ 2 θ = tan ⁡ 2 θ

Calculando agora a inclinação para a curva 2 :

m 2 = d r 2 d θ sen ⁡ θ + r 2 c o s   θ d r 2 d θ cos ⁡ θ - r 2 sen ⁡ θ

m 2 = - a sen ⁡ θ sen ⁡ θ + a cos ⁡ θ c o s   θ - a sen ⁡ θ cos ⁡ θ - a cos ⁡ θ sen ⁡ θ

m 2 = acos 2 ⁡ θ - a sen 2 ⁡ θ - 2 a sen ⁡ θ cos ⁡ θ

Fazendo umas simplificações trigonométricas com as relações sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ e cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

m 2 = a cos ⁡ 2 θ - a sen ⁡ 2 θ = - c o t g   2 θ

Passo 3

Como vamos analisar também os pontos quando r = 0 , precisamos encontrar para quais ângulos isso acontece nas curvas 1 e 2 .

Para curva 1 :

r 1 = a   s e n   θ = 0

s e n   θ = 0

Isso acontece quando θ = 0 e θ = π . Para a curva 2 ,

r 2 = a cos ⁡ θ = 0

cos ⁡ θ = 0

Isso ocorre em θ = π 2 e θ = 3 π 2 .

Passo 4

Por fim, vamos analisar as inclinações, para isso precisamos analisar pontos onde as curvas 1 e 2 tem ângulo θ = π 4 e θ = 5 π 4 , além disso pontos onde as curvas tem r = 0 .

Para θ = π 4

m 1 π 4 = t g 2 π 4

m 1 π 4 = t g π 2 = ∄

Mas calculando os limites laterais

lim θ → π 4 - ⁡ m 1 = lim θ → π 4 - ⁡ t g 2 θ = + ∞

lim θ → π 4 + ⁡ m 1 = lim θ → π 4 + ⁡ t g 2 θ = - ∞

Esses valores do limite indicam uma inclinação vertical.

m 2 π 4 = - c o t g 2 π 4

m 2 = - c o t g π 2 = 0

Isso indica uma inclinação horizontal. Se temos em uma curva uma inclinação horizontal e na outra uma vertical, as duas se interceptam neste ponto com um ângulo reto.

Passo 5

Para θ = 5 π 4

m 1 5 π 4 = t g 10 π 4

m 1 = t g 5 π 2 = ∄

E como calculamos o limite em cima, sabemos que se trata de uma inclinação vertical.

m 2 5 π 4 = - c o t g 10 π 4

m 2 = - c o t g 5 π 2 = 0

Assim como para π 4 , temos uma inclinação vertical e outra horizontal, portanto se interceptam com ângulo reto.

Passo 6

Para r = 0 , na curva 1 com ângulos θ = 0 e θ = π temos uma inclinação

m 1 0 = t g 0 = 0

m 2 0 = t g 2 π = 0

Então, sempre que a curva 1 está na origem, sua inclinação é horizontal. Na curva 2 com ângulos θ = π 2 e θ = 3 π 2

m 2 π 2 = - c o t g 2 π 2

m 2 = - c o t g π = ∄

Analisando no limite

lim θ → π 2 - ⁡ m 2 = lim θ → π 2 - ⁡ ( - c o t g 2 θ ) = + ∞

lim θ → π 2 + ⁡ m 2 = lim θ → π 2 + ⁡ ( - c o t g 2 θ ) = - ∞

Temos para π 2 na curva 2 uma inclinação vertical.

m 2 3 π 2 = - c o t g 6 π 2

m 2 = - c o t g 3 π = ∄

Para 3 π 2 também temos uma inclinação vertical. Sempre que a curva 2 está na origem, sua inclinação é vertical. Se para r = 0 a curva 1 tem inclinação horizontal e a curva 2 vertical, elas se interceptam por ângulos retos.

O caminho foi longo, mas conseguimos, né? 😊

Resposta

Demonstração

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Identifique as simetrias das curvas nos Exercícios 1-12. Em seguida, esboce as curvas. r = 2 + sen ⁡ θ
Identifique as simetrias das curvas nos Exercícios 1-12. Em seguida, esboce as curvas. r 2 = cos ⁡ θ
Identifique as simetrias das curvas nos Exercícios 1-12. Em seguida, esboce as curvas. r 2 = - cos ⁡ θ
Desenhe as lemniscatas nos Exercícios 13-16. Quais simetrias essas curvas têm? r 2 = 4 sen ⁡ 2 θ