Enunciado

Se z = (1)/(x) [f (x - y) + g (x + y)] , mostre que:

(del)/(del x) (x ² (del z)/(del x)) = x ² (del^2 z)/(del y^2)

Passo 1

Então galera, a resolução dessa questão é puramente matemática mesmo. Vamos utilizar os conceitos que conhecemos sobre regra da cadeia, tudo bem? Antes de tudo, a fim de facilitar nosso problema, vamos definir o seguinte:

u = x - y

v = x + y

Então teremos que:

z = (1)/(x) [f (u) + g (v)]

Vamos descobrir as derivadas parciais de z em relação a u e v :

(del z)/(del u) = (1)/(x) . f^' (u)

(del z)/(del v) = (1)/(x) . g^' (v)

Passo 2

Agora o que devemos fazer é aplicar a regra da cadeia para descobrirmos as derivadas em relação a x e a y , se liga:

(del z)/(del x) = (del z)/(del u) (del u)/(del x) + (del z)/(del v) (del v)/(del x)

Substituindo os valores das derivadas:

(del z)/(del x) = (1)/(x) . f^' (u) + (1)/(x) . g^' (v)

(del z)/(del x) = (1)/(x) [f^' (u) + g^' (v)]

Agora descobrindo em relação a y :

(del z)/(del y) = (del z)/(del u) (del u)/(del y) + (del z)/(del v) (del v)/(del y)

Substituindo os valores das derivadas:

(del z)/(del y) = - (1)/(x) . f^' (u) + (1)/(x) . g^' (v)

(del z)/(del y) = (1)/(x) [g^' (v) - f^' (u)]

Passo 3

Ok, agora determinamos as derivadas que precisamos. O que devemos fazer agora é testar a igualdade do enunciado, que é:

(del)/(del x) (x ² (del z)/(del x)) = x ² (del^2 z)/(del y^2)

Para o lado esquerdo da equação, teremos:

(del)/(del x) (x^2 . (1)/(x) [f^' (u) + g^' (v)]) = (del)/(del x) (x . [f^' (u) + g^' (v)])

x ((d g^' (v))/(d v) . (del v)/(del x) + (d f^' (u))/(d u) . (del u)/(del x)) = x . (g^(' ') (v) + f^(' ') (u))

Aqui vale ressaltar que utilizamos a regra da cadeia novamente, tudo bem? Agora para o lado direito, teremos:

(del^2 z)/(del y^2) = (1)/(x) (del)/(del y) ((1)/(x) [g^' (v) - f^' (u)])

(del^2 z)/(del y^2) = (1)/(x) ((d g^' (v))/(d v) . (del v)/(del y) - (d f^' (u))/(d u) . (del u)/(del y))

(del^2 z)/(del y^2) = (1)/(x) (g^(' ') (v) + f^(' ') (u))

Multiplicando por x ² , teremos:

x^2 . (del^2 z)/(del y^2) = x . (g^(' ') (v) + f^(' ') (u))

Sendo assim, o resultado que chegamos é que:

x . (g^(' ') (v) + f^(' ') (u)) = x . (g^(' ') (v) + f^(' ') (u))

Então fica provado que, de fato:

(del)/(del x) (x ² (del z)/(del x)) = x ² (del^2 z)/(del y^2)

Como queríamos demonstrar 😊.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre dw/dt em t = 1 se w = xey + y sen z – cos z, x = 22t, y = t – 1 + ln t e z = pt.
Nos Exercícios 13-24, desenhe um diagrama de árvore e escreva uma fórmula da regra da cadeia para cada derivada. d z d t para z = f x ,y , x = g t , y = h t
Nos Exercícios 13-24, desenhe um diagrama de árvore e escreva uma fórmula da regra da cadeia para cada derivada. ∂ w ∂ u e ∂ w ∂ v para w = f x ,y , x = h u ,v , y = k u ,v
Nos Exercícios 13-24, desenhe um diagrama de árvore e escreva uma fórmula da regra da cadeia para cada derivada. ∂ w ∂ x e ∂ w ∂ y para w = g u ,v , u = h x ,y , v = k x ,y
Nos Exercícios 13-24, desenhe um diagrama de árvore e escreva uma fórmula da regra da cadeia para cada derivada. d z d t para z = f u ,v ,w , u = g t , v = h t , w = k t