Enunciado

a Mostre que ∫ - ∞ ∞ x d x é divergente.

b Mostre que

lim t → ∞ ⁡ ∫ - t t x d x = 0

Isso mostra que não podemos definir

∫ - ∞ ∞ f x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ - t t f x d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos mostrar que a integral apresentada é divergente e depois mostrar que no limite o valor pode ser diferente. Para isso utilizaremos as técnicas de integração estudadas.

Passo 2

a Podemos escrever a integral da seguinte maneira

∫ - ∞ ∞ x d x = ∫ - ∞ 0 x d x + ∫ 0 ∞ x d x

Podemos resolver a seguinte integral imprópria

∫ 0 ∞ x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t x d x

Resolvendo a integral, temos

∫ 0 ∞ x d x = lim t → ∞ ⁡ x 2 2 0 t = ∞

Dessa forma, a integral

∫ - ∞ ∞ x d x

É divergente.

Passo 3

b Resolvendo a integral, temos

lim t → ∞ ⁡ ∫ - t t x d x = l i m t → ∞ x 2 2 - t t

Aplicando os limites de integração ficamos com

l i m t → ∞ x 2 2 - t t = l i m t → ∞ t 2 2 - t 2 2 = 0

Resposta

Como queremos provar, ∫ - ∞ ∞ x d x

É divergente e

lim t → ∞ ⁡ ∫ - t t x d x = 0

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Calcule a área da região infinita no primeiro quadrante entre a curva y = e - x e o eixo x .
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫