Enunciado

Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência.

∫ π ∞ 1 + s e n   x x 2   d x

Passo 1

Vamos resolver essa pelo método da comparação direta. O método diz que se temos duas funções f ( x ) e g ( x ) , e 0 ≤ f x ≤ g ( x ) , se a maior converge, a menor também converge, e se a menor diverge a maior também diverge.

Vamos escolher funções adequadas para fazer o comparativo então...

Passo 2

Seja f x = 1 + s e n   x x 2     (a função que queremos) e g x = 2 x 2 . Observe que:

0 ≤   1 + s e n   x x 2   ≤ 2 x 2

Vamos testar na função maior, a g x :

∫ π ∞ 2 x 2 d x = - 2 x ]   ∞ π = lim b → ∞ ⁡ - 2 x ]   b π = lim b → ∞ ⁡ - 2 b + 2 π = 2 π

Então, g ( x ) converge. E, se a maior converge, a menor também converge.

∫ π ∞ 1 + s e n   x x 2   d x converge.

Resposta

∫ π ∞ 1 + s e n   x x 2   d x converge.

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Utilize a integração, o teste da comparação direta ou o teste da comparação no limite para testar a integral quanto à convergência. Se mais de um método puder ser aplicado, use o de sua preferência. ∫
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