Enunciado

Mostre que a equação representa uma esfera e determine seu centro e raio.

3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 = 10 + 6 y + 12 z

Passo 1

Aqui temos uma equação que representa a esfera, mas não sabemos as coordenadas do centro e muito menos o raio, até aí tudo bem.

Sabemos que a equação da esfera é a seguinte:

x - x ' 2 + y - y ' 2 + ( z - z ' ) 2 = r 2

Onde ( x ' ,   y ' , z ' ) é a coordenada do centro.

“Tá beleza, mas como eu vou achar essa coordenada?” Meuamigooo, é o seguinte, precisamos utilizar o método de completar os quadrados... calma! Não entremos em pânico! É só seguir o passo a passo:

Bom, precisamos tornar essas variáveis em equações irredutíveis e uma característica delas é que o valor de ∆ = 0 . Presta atenção:

Organizamos a equação:

3 x 2 - 0 + 3 y 2 - 6 y + 3 z 2 - 12 z = 10

A partir disso podemos calcular o e encontar o valor de c :

∆ = b 2 - 4 a c

-Para 3 x 2 :

0 = ( 0 ) 2 - 4 ( 3 ) c

c = 0

-Para ( 3 y 2 - 6 y ) :

0 = ( - 6 ) 2 - 4 ( 3 ) c

c = 3

-Para 3 z 2 + 12 z :

0 = ( - 12 ) 2 - 4 ( 3 ) c

c = 12

Agora, é só substituirmos, lembrando de somarmos no 2° membro também!!

3 x 2 + 3 y 2 - 6 y + 3 + 3 z 2 - 12 z + 12 = 10 + 3 + 12

3 x 2 + 3 y 2 - 2 y + 1 + 3 z 2 - 4 z + 4 = 10 + 3 + 12

Podemos escrevê-los em forma de produto notável, logo

3 x 2 + 3 y - 1 2 + 3 z - 2 2 = 25

x 2 + y - 1 2 + z - 2 2 = 25 3

Assim, as coordenadas do centro são ( 0,1 , 2 ) e o raio é 25 3 = 5 3 !!

Beleza??!

Resposta

As coordenadas do centro são ( 0,1 , 2 ) e o raio é 5 3 !!

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Com base na Figura 1.29 , determinar os vetores a seguir, expressando-os com origem no ponto A : 1 2 B C → + B C →
Apresentar, graficamente, um representante do vetor u → - v → nos casos: