Enunciado

Mostre que a equação representa uma esfera e determine seu centro e raio.

x 2 + y 2 + z 2 - 2 x - 4 y + 8 z = 15

Passo 1

Aqui temos uma equação que representa a esfera, mas não sabemos as coordenadas do centro e muito menos o raio, até aí tudo bem.

Sabemos que a equação da esfera é a seguinte:

x - x ' 2 + y - y ' 2 + ( z - z ' ) 2 = r 2

Onde ( x ' ,   y ' , z ' ) é a coordenada do centro.

“Tá beleza, mas como eu vou achar essa coordenada?” Meuamigooo, é o seguinte, precisamos utilizar o método de completar os quadrados... calma! Não entremos em pânico! É só seguir o passo a passo:

Bom, precisamos tornar essas variáveis em equações irredutíveis e uma característica delas é que o valor de ∆ = 0 . Presta atenção:

Organizamos a equação:

( x 2 - 2 x ) + ( y 2 - 4 y ) + ( z 2 + 8 z ) = 15

A partir disso podemos calcular o e encontar o valor de c :

∆ = b 2 - 4 a c

-Para ( x 2 - 2 x ) :

0 = ( - 2 ) 2 - 4 ( 1 ) c

c = 1

-Para ( y 2 - 4 y ) :

0 = ( - 4 ) 2 - 4 ( 1 ) c

c = 4

-Para ( z 2 + 8 z ) :

0 = ( 8 ) 2 - 4 ( 1 ) c

c = 16

Agora, é só substituirmos, lembrando de somarmos no 2° membro também!!

x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 4 y + 4 + z 2 + 8 z + 16 = 15 + 1 + 4 + 16

Podemos escrevê-los em forma de produto notável, logo

x - 1 2 + y - 2 2 + z + 4 2 = 36

Assim, as coordenadas do centro são ( 1 , 2 , - 4 ) e o raio é 6 !!

Beleza??!

Resposta

As coordenadas do centro são ( 1,2 , - 4 ) e o raio é 6 .

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