Enunciado

Teste a série quanto a convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ ( n cos ⁡ n π ) 2 n  

Passo 1

Bom, nessa série a gente tem:

a n = ( n cos ⁡ n π ) 2 n    

Só que cos ⁡ n π só pode ser 1 ou - 1 . Então nossa série alternada fica assim:

- 1 n n 2 n

Nesse caso então o b n = n 2 n ...

Passo 2

Pra provar a convergência a gente precisa de ver duas coisinhas:

  1. b n + 1 ≤ b n   para todo n .
  2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Se essas duas não derem certo, ela diverge.

Então vamos lá. Vamos derivar a função para ver se ela é decrescente...

n 2 - n ' =   - n 2 2 - n ln ⁡ 2

=   - n 2 2 n ln ⁡ 2  

Ou seja, para qualquer valor de n a função vai ser decrescente, logo b n + 1 ≤ b n   para todo n . A primeira condição já foi.

Passo 3

Vamos para a segunda condição. Calcular o limite (aqui a gente usa L’Hôpital)...

lim n → ∞ ⁡ n 2 n =   l i m n → ∞ 1 2 n ln ⁡ 2   = 1 2 ∞ ln ⁡ 2   = 0

Então conferiu a segunda também. Ou seja, a série converge.

Resposta

Converge.

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Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ s en ⁡ ( n π / 2 ) n !
Teste a convergência ou divergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n n n 2 + 2
Teste a convergência ou divergência da série: ∑ n = 2 ∞ - 1 n + 1 n ln ⁡ n
Teste a convergência ou divergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 2 n - 1 - 5 n
Teste a convergência ou divergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 1 n