Enunciado

Mostre que a equação representa uma esfera e determine seu centro e raio.

15. x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 2 z = 11

Passo 1

Sabemos que a equação de uma esfera é do tipo x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = r 2 ,   onde x 0 , y 0 e z 0 são as coordenadas do centro dessa esfera e r é o raio dela. Então para mostrar que uma equação pertence a uma esfera, nós precisamos deixar ela com uma cara parecida com essa, rearranjando os termos, ficamos com:

x 2 - 6 x + y 2 + 4 y + z 2 - 2 z = 11

Agora perceba que na equação que queremos chegar temos três termos ao quadrado, então podemos completar o quadrado para as três variáveis:

x 2 - 6 x + 9 - 9 + y 2 + 4 y + 4 - 4 + z 2 - 2 z + 1 - 1 = 11

( x - 3 ) 2 - 9 + ( y + 2 ) 2 - 4 + ( z - 1 ) 2 - 1 = 11

x - 3 2 + y + 2 2 + z - 1 2 = 11 + 14 = 25

x - 3 2 + y + 2 2 + z - 1 2 = 5 2

Show! Agora podemos ver que nossa equação está bem parecida com a da esfera, também podemos concluir que seu centro é o ponto ( 3 , - 2,1 ) e seu raio vale 5 .

Resposta

C = 3 , - 2,1 ,   r = 5

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