Enunciado

Mostre, fazendo a derivação implícita, que a tangente à elipse

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

No ponto ( x 0 ,   y 0 ) é

x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos mostrar que a tangente a uma elipse qualquer em um ponto qualquer é da seguinte forma

x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1

Para isso utilizaremos a derivação implícita.

Passo 2

Primeiramente, iremos derivar a equação da elipse em ambos os lados

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

2 x a 2 + 2 y y ' b 2 = 0

Agora, queremos isolar y ' , que é o coeficiente angular da reta tangente a elipse. Isolando, temos

2 y y ' b 2 = - 2 x a 2

y ' = - 2 x b 2 a 2 2 y = - x b 2 y a 2

Passo 3

Como y ' é o coeficiente angular da reta tangente a elipse, podemos utilizar a seguinte formula para encontrar a equação da reta tangente

y - y 0 = y ' ( x - x 0 )

Substituindo y ' na fórmula, temos

y - y 0 = - x b 2 y a 2 ( x - x 0 )

Rearranjando os termos para colocar y e b 2 do lado esquerdo da equação, chegamos na seguinte expressão

y b 2 ( y - y 0 ) = - x a 2 ( x - x 0 )

Distribuindo os termos para os termos dentro do parênteses, temos

y 2 b 2 - y 0 y b 2 = - x 2 a 2 + x 0 x a 2

y 2 b 2 + x 2 a 2 = y 0 y b 2 + x 0 x a 2

Como na equação da elipse temos que

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Então podemos substituir na expressão encontrada, ficando com

x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1

Resposta

Como queremos provar, a equação da reta tangente a elipse é

x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1

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