Enunciado

Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.

∫ 1 + ∞ e - x x   d x

Passo 1

A questão pede para verificarmos a convergência da integral imprópria e, se possível, calculá-la.

Essa é uma integral do tipo 1 com limite de integração infinito. Então, vamos primeiro calcular a integral

��� 1 t e - x x   d x

e, em seguida, fazer t → ∞ .

Passo 2

Para calcular a integral, consideremos u = - x . Assim,

d u = - 1 2 x   d x

1 x d x = - 2   d u

Além disso, para x = 1 , u = - 1 e para x = t , u = - t . Desta forma,

∫ 1 t e - x x   d x = - 2 ∫ - 1 - t e u d u

= - 2 e u - 1 - t

= - 2 e - t - e - 1

= - 2 1 e t - 1 e

Passo 3

Tomando o limite com t → ∞ :

lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t e - x x   d x

= lim t → ∞ ⁡ - 2 1 e t - 1 e

= - 2 0 - 1 e = 2 e

Assim, a integral converge para 2 / e .

Resposta

2 e

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