Mostre que se f for contínua em [-1,2] , então:

∫ - 1 2 f x d x + ∫ 2 0 f x d x + ∫ 0 1 f x d x + ∫ 1 - 1 f x d x = 0  

Passo 1

Uma propriedade muito importante das integrais que precisamos pra resolver essa questão é essa aqui:

∫ a b f x d x = ∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x , quaisquer sejam a , b , e c dentro de um intervalo no qual f ( x ) é integrável.

Podemos então mexer nos intervalos de integração das integrais do enunciado pra tentar cancelar a soma no final.

Passo 2

Vamos então separar as integrais dividindo-as nos intervalos [ - 1 ,   0 ] , [ 0 ,   1 ] e [ 1 ,   2 ] pois esses são os números usados nos limites de integração do problema.

1 )   ∫ - 1 2 f x d x = ∫ - 1 0 f x d x + ∫ 0 2 f x d x = ∫ - 1 0 f x d x + ∫ 0 1 f x d x + ∫ 1 2 f x d x

Aqui separamos em 3 intervalos, usando a propriedade duas vezes.

2 )   ∫ 2 0 f x d x = ∫ 2 1 f x d x + ∫ 1 0 f x d x = - ∫ 1 2 f x d x - ∫ 0 1 f x d x

Aqui aplicamos a propriedade e depois invertemos a ordem de integração para ficar como queríamos, multiplicando as integrais por - 1 . A terceira integral já está como queremos.

4 )   ∫ 1 - 1 f x d x = ∫ 1 0 f x d x + ∫ 0 - 1 f x d x = - ∫ 0 1 f x d x - ∫ - 1 0 f x d x

Passo 3

Agora só precisamos somar tudo:

∫ - 1 2 f x d x + ∫ 2 0 f x d x + ∫ 0 1 f x d x + ∫ 1 - 1 f x d x  

= ∫ - 1 0 f x d x + ∫ 0 1 f x d x + ∫ 1 2 f x d x - ∫ 1 2 f x d x - ∫ 0 1 f x d x

+ ∫ 0 1 f x d x - - ∫ 0 1 f x d x - ∫ - 1 0 f x d x = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados