Enunciado

Mostre que a fórmula do Teorema 7.2.3 pode ser escrita como

f - 1 ' x = 1 f ' f - 1 x

Passo 1

A questão pede para mostrarmos que a fórmula apresentada no teorema 7.2.3 pode ser reescrita como:

f - 1 ' x = 1 f ' f - 1 x

O teorema 7.2.3 basicamente estabelece que se y = f ( x ) é uma função invertível com f ' x ≠ = 0 e sua inversa é dada por x = f - 1 ( y ) , então

d x d y = 1 d y d x

O teorema 7.2 . 4 estabelece a mesma relação, porém usando a notação com ' para as derivadas: se f c = d e f ' c ≠ 0 , então

f - 1 ' d = 1 f ' ( c )

Usaremos essa relação para demonstrar a relação pedida.

Passo 2

Se todas as hipóteses do teorema forem satisfeitas, temos que

f - 1 ' d = 1 f ' ( c ) ,

onde f c = d . Assim, podemos inverter essa relação para obter

c = f - 1 ( d )

Como, por hipótese, f é invertível, temos garantia que essa última passagem é válida. Assim, temos que

f - 1 ' d = 1 f ' f - 1 d

Como d é algum ponto do domínio de f - 1 e a relação é válida para todos os pontos do domínio, podemos generalizar a relação para todo x :

f - 1 ' x = 1 f ' f - 1 x

Demonstramos assim o que foi pedido!

Resposta

Demonstração.

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Determine a derivada.c) g ( x ) = a r c s e n ( x 3 )
Determine a derivada.e) y = 3 a r c t g 2 x + 3
Determine a derivada.g) y = e 3 xa r c s e n ( 2 x )
Determine a derivada.b) f ( x ) = a r c s e n ( 3 x )
Determine a derivada.j) y = x a r c t g x cos ⁡ 2 x