Enunciado

Determine a derivada.

h) y = (s e n 3 x)/(a r c t g 4 x)

Passo 1

Bom, pessoal, a primeira coisa que a gente tem que ver é que estamos diante de uma fração. Pra derivar essa parada, primeiro vamos ter que usar a regra do quociente! Lembra dela? É assim:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

Então pra nossa função, vai ficar assim:

(d y)/(d x) = ((s e n 3 x)^' a r c t g 4 x - s e n 3 x (a r c t g (4 x))^')/((a r c t g 4 x)^2)

Passo 2

Beleza, repara agora que as funções que vamos derivar precisam de regra da cadeia, já que elas são composições de funções. Vamos calcular cada uma delas separadas. Pra função seno é bem tranquilo, a derivada dela já tá no sangue.

(s e n 3 x)^' = c o s 3 x * (3 x)^' = 3 c o s 3 x

A que é mais complicadinha é a derivada de a r c t g , que já vimos como calcula em outros itens dessa questão. Dessa vez vou botar só o resultado, ok?

[a r c t g (f (x))]^' = (1)/(1 + (f (x))^2) * f^' (x)

No caso da questão:

(a r c t g (4 x))^' = (1)/(1 + (4 x)^2) * (4 x)^' = (4)/(1 + 16 x^2)

Passo 3

Beleza, sabendo isso tudo, é só a gente substituir na derivada que estávamos calculando!

(d y)/(d x) = ((s e n 3 x)^' a r c t g 4 x - s e n 3 x (a r c t g (4 x))^')/((a r c t g 4 x)^2)

Substituindo,

(d y)/(d x) = (( 3 c o s 3 x ) a r c t g 4 x - s e n 3 x ((4)/(1 + 16 x^2)))/((a r c t g 4 x)^2)

Desenvolvendo, vamos chegar em:

(d y)/(d x) = (3 (1 + 16 x^2) (a r c t g 4 x) cos 3 x - 4 s e n 3 x)/((1 + 16 x^2) (a r c t g 4 x)^2)

Resposta

(d y)/(d x) = (3 (1 + 16 x^2) (a r c t g 4 x) cos 3 x - 4 s e n 3 x)/((1 + 16 x^2) (a r c t g 4 x)^2)

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Ache a derivada da função g (x) = sen^(- 1) ( tgh sqrt(x) ) .
Ache a derivada da função f (x) = sec^(- 1) ( cosh x ) .
Ache (d y)/(d x) por derivação implícita: tan^(- 1) (x + 3 y) = ln y
Ache a derivada da função g (x) = cos^(- 1) ( tgh 2 x ) .
Ache (d y)/(d x) por derivação implícita: cot^(- 1) (x^2)/(3 y) + x y^2 = 0