Determine a derivada.

h) y = sen 3x / arctg 4x

Passo 1

Bom, pessoal, a primeira coisa que a gente tem que ver é que estamos diante de uma fração. Pra derivar essa parada, primeiro vamos ter que usar a regra do quociente! Lembra dela? É assim:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Então pra nossa função, vai ficar assim:

d y d x = s e n 3 x ' a r c t g 4 x - s e n 3 x a r c t g 4 x ' a r c t g 4 x 2

Passo 2

Beleza, repara agora que as funções que vamos derivar precisam de regra da cadeia, já que elas são composições de funções. Vamos calcular cada uma delas separadas. Pra função seno é bem tranquilo, a derivada dela já tá no sangue.

s e n 3 x ' = c o s 3 x ⋅ 3 x ' = 3 c o s 3 x

A que é mais complicadinha é a derivada de a r c t g , que já vimos como calcula em outros itens dessa questão. Dessa vez vou botar só o resultado, ok?

a r c t g f x ' = 1 1 + f x 2 ⋅ f ' x

No caso da questão:

a r c t g 4 x ' = 1 1 + 4 x 2 ⋅ 4 x ' = 4 1 + 16 x 2

Passo 3

Beleza, sabendo isso tudo, é só a gente substituir na derivada que estávamos calculando!

d y d x = s e n 3 x ' a r c t g 4 x - s e n 3 x a r c t g 4 x ' a r c t g 4 x 2

Substituindo,

d y d x = ( 3 c o s 3 x ) a r c t g 4 x - s e n 3 x 4 1 + 16 x 2 a r c t g 4 x 2

Desenvolvendo, vamos chegar em:

d y d x = 3 1 + 16 x 2 a r c t g 4 x cos ⁡ 3 x - 4 s e n 3 x 1 + 16 x 2 a r c t g 4 x 2

Resposta

d y d x = 3 1 + 16 x 2 a r c t g 4 x cos ⁡ 3 x - 4 s e n 3 x 1 + 16 x 2 a r c t g 4 x 2

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