Enunciado

  1. Mostre que a função definida por
  2. não é igual à sua série de Maclaurin.

  3. Trace a função na parte (a) e comente seu comportamento próximo a origem.

Passo 1

  1. Neste exercício a gente vai começar escrevendo nossa função como uma série exponencial para depois verificar se ela atende a definição de série de Maclaurin.
  2. Para construir essa série, podemos usar a série da exponencial

    e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

    Então adequando para a equação do enunciado, teríamos:

    e - 1 / x 2 = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 / x 2 ) n n ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 n ! x 2 n

    E isso vale para x ≠ 0 .

    Passo 2

    Mas se nós olharmos para a definição da série de Maclaurin

    f x = ∑ n = 0 ∞ f n ( 0 ) n ! x n = f 0 + f ' 0 x + …

    Temos que a função foi definida no enunciado por f 0 = 0

    Agora vamos usando a definição de derivada, temos que

    f ' 0 = lim h → 0 ⁡ f 0 + h - f 0 h

    = lim h → 0 ⁡ e - 1 / h 2 - 0 h = lim h → 0 ⁡ e - 1 / h 2 h

    Temos uma indeterminação 0 / 0 . Galerinha, já adianto que se aplicarmos L’Hospital aqui direto, ainda não vamos conseguir resolver esse limite. Então vamos manipular um pouco essa equação para achar esse limite

    lim h → 0 ⁡ e - 1 / h 2 h = lim h → 0 ⁡ 1 / h e 1 / h 2

    Agora temos uma indeterminação ∞ / ∞ , aplicando L’Hospital

    = lim h → 0 ⁡ - 1 / h 2 e 1 / h 2 ( - 2 / h 3 ) = lim h → 0 ⁡ h 2 e 1 / h 2 = 0

    E se calcularmos as próximas derivadas teremos sempre o mesmo resultado, fazendo a série de Maclaurin ser igual a 0

    f x = ∑ n = 0 ∞ f n ( 0 ) n ! x n = f 0 + f ' 0 x + … = 0

    Portanto o único caminho de encontrar a série é utilizando a série da exponencial, mas não conseguimos construir a série por ela mesma.

    Passo 3

  3. No gráfico

Analisando a parte e - 1 / x 2 , temos que x → 0 , a nossa f x → 0 , apesar de não estar definida neste ponto. Contudo, o enunciado nos diz que a nossa f ( 0 ) = 0 , tornando a função continua.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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