Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.9 - Ex. 38
Seja . Mostre que a série converge para todos os valores de x, mas que a série de derivadas diverge quando , sendo um inteiro. Para quais valores de x a série converge?
Passo 1
Primeiramente, esse exercício quer que a gente mostre que a série é convergente para qualquer valor de . Para isso, podemos utilizar um dos testes de séries aprendidos anteriormente. LET’S DO IT!
A série tem termos positivos e negativos, mas não é alternada. Os sinais de seus termos trocam de maneira irregular e dependem do valor de adotado e da variação de . Nesse caso, podemos aplicar o Teste da Comparação à série de valores absolutos:
Dos estudos de funções sabemos que a função seno possui imagem limitada ao intervalo [-1,1]. Ou seja,
Por isso, para todo produto (ou seja, para qualquer valor de ), temos:
Já sabemos que é convergente (p-série com p=2) e , assim é convergente pelo teste de comparação. Consequentemente, a série dada é absolutamente convergente e , portanto, convergente .
Passo 2
Em segundo lugar, o exercício nos pede para mostrar que a série de derivadas diverge quando , sendo k um inteiro. Para isso, devemos determinar a derivada e depois utilizar um dos testes para mostrar o que foi pedido.
OBS: diferentemente do enunciado, utilizamos o termo em ao invés de , para que este não se confunda com a letra correspondente ao índice da série.
Do estudo de derivadas temos
Do estudo de funções trigonométricas sabemos que
Assim, obtemos
Sabemos que é a série harmônica e diverge. Logo, pelo Teste da Comparação a série também diverge.
Passo 3
Por fim, o exercício quer que determinemos pra quais valores de a série converge. Precisamos então obter a função e depois fazer uma análise da série correspondente.
Do Teorema 6 sabemos que, se uma série é convergente, seu termo geral tende a zero quando . No caso da série , seu termo geral só vai pra zero quando é um múltiplo de , ou seja, quando , sendo um inteiro. Nesse caso, todos os termos da série serão zero e, portanto, a série irá convergir:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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