Enunciado

Seja f n x = ( s e n   n x ) / n 2   . Mostre que a série ∑ f n x converge para todos os valores de x, mas que a série de derivadas ∑ f n ' ( x )   diverge quando x = 2 n π , sendo n   um inteiro. Para quais valores de x a série ∑ f n ' ' ( x ) converge?

Passo 1

Primeiramente, esse exercício quer que a gente mostre que a série ∑ n = 1 ∞ s e n   n x / n 2 é convergente para qualquer valor de x . Para isso, podemos utilizar um dos testes de séries aprendidos anteriormente. LET’S DO IT!

A série ∑ n = 0 ∞ ( s e n   n x ) / n 2 tem termos positivos e negativos, mas não é alternada. Os sinais de seus termos trocam de maneira irregular e dependem do valor de x adotado e da variação de n . Nesse caso, podemos aplicar o Teste da Comparação à série de valores absolutos:

∑ n = 0 ∞ s e n   n x n 2 =   ∑ n = 0 ∞ | ( s e n   n x ) | n 2

Dos estudos de funções sabemos que a função seno possui imagem limitada ao intervalo [-1,1]. Ou seja,

0 ≤ | s e n   n x | ≤ 1

Por isso, para todo produto n x (ou seja, para qualquer valor de x ), temos:

| ( s e n   n x ) | n 2 ≤ 1 n 2

Já sabemos que ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 é convergente (p-série com p=2) e , assim ∑ n = 1 ∞ | s e n   n x | / n 2 é convergente pelo teste de comparação. Consequentemente, a série dada ∑ n = 1 ∞ s e n   n x / n 2 é absolutamente convergente e , portanto, convergente .

Passo 2

Em segundo lugar, o exercício nos pede para mostrar que a série de derivadas ∑ f n ' ( x )   diverge quando x = 2 k π , sendo k um inteiro. Para isso, devemos determinar a derivada f n ' e depois utilizar um dos testes para mostrar o que foi pedido.

OBS: diferentemente do enunciado, utilizamos o termo k em x = 2 k π ao invés de n , para que este não se confunda com a letra n correspondente ao índice da série.

Do estudo de derivadas temos

f n ' = s e n   n x n 2 ' = n ⋅ c o s   n x n 2 = cos ⁡ n x n

Do estudo de funções trigonométricas sabemos que

cos ⁡ n k 2 π = c o s 2 π = 1 ;             ∀       k ∈ Z ,   n ∈ N

Assim, obtemos

cos ⁡ n k 2 π n = 1 n

∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n k 2 π n = ∑ n = 1 ∞ 1 n

Sabemos que ∑ n = 1 ∞ 1 / n é a série harmônica e diverge. Logo, pelo Teste da Comparação a série ∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n k 2 π / n também diverge.

Passo 3

Por fim, o exercício quer que determinemos pra quais valores de x a série ∑ f n ' ' ( x ) converge. Precisamos então obter a função f n ' ' ( x ) e depois fazer uma análise da série correspondente.

f n ' ' = ( f n ' ) ' = ( cos ⁡ n x n ) ' = - s e n   n x  

Do Teorema 6 sabemos que, se uma série é convergente, seu termo geral tende a zero quando n → 0 . No caso da série ∑ f n ' ' ( x ) , seu termo geral f n ' ' = - s e n   n x só vai pra zero quando n x é um múltiplo de π , ou seja, quando x = k π , sendo k um inteiro. Nesse caso, todos os termos da série serão zero e, portanto, a série irá convergir:

∑ n = 0 ∞ - s e n   n x = - ∑ n = 0 ∞ s e n   n k π = - ∑ n = 0 ∞ s e n   π = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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