Enunciado

Trace na mesma tela as primeiras somas parciais s n x da série ∑ n = 0 ∞ x n , com a função-soma f x = 1 1 - x . Em que intervalo essas somas parciais parecem estar convergindo para f x ?

Passo 1

Beleza, galera? Vamos traçar as seguintes funções:

s 0 x = 1

s 1 x = 1 + x

s 2 x = 1 + x + x 2

s 3 x = 1 + x + x 2 + x 3

s 4 x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4

f x = 1 1 - x

A curva mais grossa (em azul) é f ( x )

Passo 2

Agora observe o gráfico. s 0 x é uma reta horizontal, s 1 x já é uma reta oblíqua que se aproxima de f x pelo menos em torno de x = 0 . E à medida que vamos aumentando o número de termos das somas parciais, as funções vão convergindo cada vez mais para f x .

Até s 4 x , conseguimos ver que o gráfico parece convergir aproximadamente no intervalo - 0,7   ,       0,7 . Mas sabemos que o intervalo de convergência dessa série ∑ n = 0 ∞ x n é - 1 ,   1 , então, se acrescentássemos mais e mais gráficos de somas parciais, poderíamos visualizar isso.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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