Enunciado

Mostre que a função f t = 1 t 2 não possui transformada de Laplace.

[Sugestão: L f t = ∫ 0 1   e - s t f ( t ) d t + ∫ 1 ∞ e - s t f ( t )   d t . Use a definição de integral imprópria para mostrar que ∫ 0 1 e - s t f t d t   não existe.

Passo 1

Olá, tudo bem?

Vamos usar a sugestão e fazer: L f t = ∫ 0 1   e - s t f ( t ) d t + ∫ 1 ∞ e - s t f ( t )   d t . No nosso caso vamos ter:

L 1 t 2 = ∫ 0 1   e - s t   1 t 2 d t + ∫ 1 ∞ e - s t 1 t 2 d t

Vamos analisar agora a integral:

∫ 0 1   e - s t   1 t 2 d t

Agora analisamos: se s = 0 , temos:

∫ 0 1     1 t 2 d t

Essa integral é imprópria, pois 1 t 2 não está definida para t = 0 , e além disso diverge, pois:

∫ 0 1     1 t 2 d t =   - 1 t 0 1 = lim b → 0 ⁡ - 1 t b 1 = lim b → 0 ⁡ - 1 1 + 1 b = ∞

Passo 2

Agora, se s < 0 , temos:

∫ 0 1   e - s t   1 t 2 d t > ∫ 0 1     1 t 2 d t

Então, pelo teste da convergência, a integral em questão também diverge.

E se s > 0 , temos:

∫ 0 1   e - s t   1 t 2 d t > e - s ∫ 0 1   e - s t   1 t 2 d t

Portanto, também diverge.

Com isso, temos que a função f t = 1 t 2 não possui transformada de Laplace 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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