Enunciado

Nos problemas 1-18, use a definição 7.1 para calcular L f t .

8.

Passo 1

Então galera, para resolvermos os problemas 1-18 temos que lembrar da definição 7.1, assim como o enunciado sugere. Essa definição nos diz o seguinte:

L f t = ∫ 0 ∞ e - s t f t d t

Quando temos apenas uma função definida, obviamente teremos que resolver apenas uma integral, mas quando temos uma função definida a partir de dois ou mais intervalos, teremos que escrever duas ou mais integrais. Prometo que só PARECE complicado, pessoal!

Vamo que vamo por a ideia em prática!

Passo 2

A função f t que nos foi dada é essa aqui ó:

f t = 0 ,   0 < t < 1 2 t - 2 ,   t > 1

Aplicando a definição do passo 1, teremos:

L f t = ∫ 0 1 e - s t 0 d t + ∫ 1 ∞ e - s t 2 t - 2 d t

L f t = ∫ 1 ∞ 2 t - 2 e - s t d t

E agora o que precisamos fazer é apenas resolver essas integrais, então bora lá!

Passo 3

Resolvendo essas integrais, teremos:

L f t = ∫ 1 ∞ 2 t - 2 e - s t d t = 2 - 1 s t - 1 e - s t - 1 s 2 e - s t ∞ 1

Aplicando o intervalo de integração, teremos:

L f t = 2 s 2 e - s

E está aí nossa Lagrangeana, galeris! 😊

Resposta

L f t = 2 s 2 e - s

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