Enunciado

Nos problemas 1-18, use a definição 7.1 para calcular L f t .

3. f t = t ,   0 ≤ t < 1 1 ,   t ≥ 1

Passo 1

Então galera, para resolvermos os problemas 1-18 temos que lembrar da definição 7.1, assim como o enunciado sugere. Essa definição nos diz o seguinte:

L f t = ∫ 0 ∞ e - s t f t d t

Quando temos apenas uma função definida, obviamente teremos que resolver apenas uma integral, mas quando temos uma função definida a partir de dois ou mais intervalos, teremos que escrever duas ou mais integrais. Prometo que só PARECE complicado, pessoal!

Vamo que vamo por a ideia em prática!

Passo 2

A função f t que nos foi dada é essa aqui ó:

f t = t ,   0 ≤ t < 1 1 ,   t ≥ 1

Aplicando a definição do passo 1, teremos:

L f t = ∫ 0 1 e - s t t d t + ∫ 1 ∞ e - s t 1 d t

L f t = ∫ 0 1 t e - s t d t + ∫ 1 ∞ e - s t d t

E agora o que precisamos fazer é apenas resolver essas integrais, então bora lá!

Passo 3

Resolvendo essas integrais, teremos:

L f t = ∫ 0 1 t e - s t d t = - 1 s t e - s t - 1 s 2 e - s t 1 0

L f t = ∫ 1 ∞ e - s t d t = - 1 s e - s t ∞ 1

Logo:

L f t = - 1 s t e - s t - 1 s 2 e - s t 1 0 + - 1 s e - s t ∞ 1

Aplicando o intervalo de integração, teremos:

L f t = - 1 s e - s - 1 s 2 e - s - 0 - 1 s 2 - 1 s 0 - e - s

∴ L f t = 1 s 2 1 - e - s

E está aí nossa Lagrangeana, galeris! 😊

Resposta

L f t = 1 s 2 1 - e - s

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Nos problemas 1-18, use a definição 7.1 para calcular L f t .7.
Nos problemas 1-18, use a definição 7.1 para calcular L f t .2. f t = 4 ,0 ≤ t2 0 ,t ≥ 2