Enunciado

Mostre que função g t =   1 1 - t +   1 + t - 3,1   , tem exatamente uma raíz no interior do intervalo (-1,1).

Passo 1

Tendo em vista que um polinômio de grau n pode apresentar n raízes reais queremos mostrar que no intervalo (-1, 1) a função   g x dada tem exatamente uma raiz, para isso contaremos com o auxílio da análise gráfica da derivada.

Passo 2

Tomemos a função g t =   1 1 - t +   1 + t - 3,1 e a derivemos obtendo, assim:

g ' t =   1 1 - t 2 + 1 2 1 + t   > 0

Isso implica que a função g t está crescendo no intervalo (-1,1), haja vista que o sinal da primeira derivada ( g ' > 0   o u   g ' < 0 ) indica o comportamento da função de maneira similar ao comportamento da derivada.

Passo 3

Resta – nos , agora, verificar se temos, de fato, alguma raiz nesse intervalo e se tivermos ela será única devido ao fato de que existisse mais de um zero nesse intervalo poderíamos aplicar o teorema de Rolle que garantiria que existiria um número C dentro desse intervalo que faça com que g ' c = 0 . Tomemos valores próximos dos extremos (maior valor e menor valor dentro do intervalo) para avaliarmos como: -0.99 e 0.99. Assim,

g - 0.99 = 1 1 - ( - 0.99 ) + 1 - 0.99 - 3.1

g - 0.99 = 1 1 + 0.99 + 0.01 - 3.1

g - 0.99 = 1 1.99 + 0.01 - 3.1

g - 0.99 = 1 1.99 + 0.1 - 3.1

g - 0.99 ≈ 0.5 + 0.1 - 3.1   ≈   - 2.5

g 0.99 = 1 1 - ( 0.99 ) + 1 + 0.99 - 3.1

g 0.99 = 1 0.01 + 1.99 - 3.1

g 0.99 ≈ 100 + 1.4 - 3.1   ≈   98.3

Passo 4

Como obtivemos g - 0.99 < 0   e   g 0.99 > 0 , então, podemos afirmar que temos uma raiz nesse intervalo pelo teorema do valor intermediário. Além disso, essa raiz é única, fato constatado no passo anterior.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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