Mostre que as funções senh x, tanh x, cotgh x e cosech x são ímpares.

Passo 1

Bom, galera, uma função f ( x ) é dita ímpar quando isso aqui acontece:

f - x = - f ( x )

Portanto, vamos verificar caso a caso. Começando por f x = senh ⁡ x . Podemos escrever a função seno hiperbólico como senh ⁡ x = e x - e - x 2 . Assim,

f - x = senh ⁡ - x

f - x = e - x - e x 2

f - x = - e x - e - x 2

f - x = - f x

Logo, a função é ímpar!

Passo 2

Em seguida vamos para f x = tanh ⁡ x . Podemos escrever a função tangente hiperbólica como ta nh ⁡ x = e x - e - x e x + e - x . Logo,

f - x = tanh ⁡ - x

f - x = e - x - e x e - x + e x

f - x = - e x - e - x e x + e - x

f - x = - f x

Logo, a função é ímpar!

Passo 3

Seja f x = c o t g h   x . Podemos escrever a função cotangente hiperbólica como c o t g h   x = e x + e - x e x - e - x . Logo,

f - x = c o t g h   ( - x )

f - x = e - x + e x e - x - e x

f - x = - e x + e - x e x - e - x

f - x = - f x

Logo, a função é ímpar!

Passo 4

Seja f x = c o s e c h   x . Podemos escrever a função cossecante hiperbólica como c o s e c h   x = 2 e x - e - x . Logo,

f - x = c o s e c h   ( - x )

f - x = 2 e - x - e x

f - x = - 2 e x - e - x

f - x = - f x

Logo, a função é ímpar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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