Enunciado

Se f x = x | x | , mostre que o gráfico de f tem um ponto de inflexão na origem.

Passo 1

Como f apresenta uma função modular temos:

Se x > 0 temos f x = x . x = x 2 , logo f ' x = 2 x ;

Se x < 0 temos f x = x - x = - x 2 , logo f ' x = - 2 x .

Para determinarmos a derivada de f em x = 0 devemos utilizar a definição de derivada. Assim:

f + ' ( 0 ) = lim x → 0 + ⁡ f x - f 0 x - 0 ⇒

f + ' ( 0 ) = lim x → 0 + ⁡ x 2 - 0 x - 0 ⇒

f + ' ( 0 ) = lim x → 0 + ⁡ x 2 - 0 x - 0 ⇒

f + ' ( 0 ) = lim x → 0 + ⁡ x 2 x ⇒

f + ' ( 0 ) = lim x → 0 + ⁡ x ⇒

f + ' ( 0 ) = 0

E também:

f - ' ( 0 ) = lim x → 0 - ⁡ f x - f 0 x - 0 ⇒

f - ' ( 0 ) = lim x → 0 - ⁡ - x 2 - 0 x - 0 ⇒

f - ' ( 0 ) = lim x → 0 - ⁡ - x 2 x ⇒

f - ' ( 0 ) = lim x → 0 - ⁡ - x ⇒

f - ' ( 0 ) = 0

Como f + ' ( 0 ) = f + ' ( 0 ) , temos que f ' 0 = 0 .

Passo 2

Agora vamos determinar f ' ' ( x ) para cada intervalo de x :

Se x > 0 temos f ' x = 2 x , logo f ' ' x = 2 ;

Se x < 0 temos f ' x = - 2 x , logo f ' ' x = - 2 .

Vamos verificar se existe f ' ' ( 0 ) . Para isto devemos utilizar a definição de derivada. Assim:

f + ' ' ( 0 ) = lim x → 0 + ⁡ f ' x - f ' 0 x - 0 ⇒

f + ' ' ( 0 ) = lim x → 0 + ⁡ 2 x - 0 x - 0 ⇒

f + ' ' ( 0 ) = lim x → 0 + ⁡ 2 x x ⇒

f + ' ' ( 0 ) = lim x → 0 + ⁡ 2 ⇒

f + ' ' ( 0 ) = 2

E também:

f - ' ' ( 0 ) = lim x → 0 - ⁡ f ' x - f ' 0 x - 0 ⇒

f - ' ' ( 0 ) = lim x → 0 - ⁡ - 2 x - 0 x - 0 ⇒

f - ' ' ( 0 ) = lim x → 0 - ⁡ - 2 x x ⇒

f - ' ' 0 = lim x → 0 - ⁡ - 2 ⇒

f - ' ' 0 = - 2

Como f + ' ' 0 ≠ f - ' ' 0 temos que f ' ' não existe em x = 0 . Como f ' ' x ≠ 0 , temos que o único ponto de inflexão de f ocorrerá quando f ' ' não existe, ou seja, em x = 0 .

Passo 3

Substituindo x = 0 na equação de f temos:

f 0 = 0 . 0 ⇒

f 0 = 0.0 ⇒

f 0 = 0

Portanto, o ponto de inflexão de f é ( 0 ,   0 ) , como queríamos mostrar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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