Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.3 - Ex. 20
Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a integral.
Passo 1
Para resolvermos esse exercício, vamos precisar verificar se o campo é conservativo porque um campo conservativo independe do caminho!!
E precisaremos encontrar a função potencial do campo para conseguirmos integrar usando o teorema da independência do caminho
Passo 2
Temos que , onde nosso e
vamos lembrar desse macete show de bola aqui: se um campo é conservativo, essa igualdade vai ser verdade:
Calculando as derivadas parciais, temos então que
Uhuuul deu igual, então ele é conservativo! Então sua derivada apenas depende dos pontos finais e iniciais
Mas ainda precisamos apenas da função.
Passo 3
Como o campo é conservativo, para encontrar a função potencial, vamos integrar em relação a e depois derivar em relação a . Assim, temos que
Integrando em relação a
Agora derivando em relação a temos:
Vamos igualar com o que temos acompanhando na nossa integral de linha
Logo, temos que:
Temos então que nossa função potencial é . Calculando a integral usando o teorema da independência do caminho, temos então que