Enunciado

Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a integral.

Passo 1

Para resolvermos esse exercício, vamos precisar verificar se o campo é conservativo porque um campo conservativo independe do caminho!!

E precisaremos encontrar a função potencial do campo para conseguirmos integrar usando o teorema da independência do caminho

Passo 2

Temos que d f = ∂ f ∂ x ⋅ d x + ∂ f ∂ y ⋅ d y , onde nosso ∂ f ∂ x = P = ( 1 - y ⋅ e - x ) e ∂ f ∂ y = Q = e - x

vamos lembrar desse macete show de bola aqui: se um campo é conservativo, essa igualdade vai ser verdade:

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Calculando as derivadas parciais, temos então que

∂ ∂ y 1 - y ⋅ e - x = - e - x

∂ ∂ x e - x   = - e - x

Uhuuul deu igual, então ele é conservativo! Então sua derivada apenas depende dos pontos finais e iniciais

Mas ainda precisamos apenas da função.

Passo 3

Como o campo é conservativo, para encontrar a função potencial, vamos integrar Q em relação a y e depois derivar em relação a x . Assim, temos que

Integrando em relação a y

f = ∫ Q ⋅ d y + g ( x )

= ∫ e - x ⋅ d y + g x

= y ⋅ e - x + g x

Agora derivando em relação a x temos:

∂ ( y ⋅ e - x + g x ) ∂ x

∂ f ∂ x = - y ⋅ e - x + g ' x

= - y ⋅ e - x + g ' x

Vamos igualar com o que temos acompanhando d x na nossa integral de linha

- y ⋅ e - x + g ' x = 1 - y ⋅ e - x

Logo, temos que:

g ' x = 1 → g x = x

Temos então que nossa função potencial é f = x + y ⋅ e - x . Calculando a integral usando o teorema da independência do caminho, temos então que

∫ C F → ⋅ d r → = f b - f a = f 1,2 - f 0,1 =

= 1 + 2 ⋅ e - 1 - 1 ⋅ e 0 = 1 + 2 e - 1 = 2 e

Resposta

∫ C ( 1 - y ⋅ e - x ) ⋅ d x + e - x ⋅ d y = 2 e

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