Resolva os problemas de valor inicial.

4y'' + 4y' + 3y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1

Passo 1

Galerinha, se tivermos uma equação diferencial de segunda ordem da forma

a y ' ' + b y ' + c y = 0

uma solução pode ser encontrada através das raízes da equação auxiliar (ou equação característica) que é escrita como

a r 2 + b r + c = 0

As raízes dessa equação vão ajudar a dar forma a solução da equação diferencial. A tabela abaixo nos dá as possibilidades de raízes e suas respectivas formas de soluções gerais.

As constantes C 1 e C 2 podem ser encontradas através dos problemas de valor inicial! São dados dois valores para serem substituídos na solução geral a fim de encontrarmos esses valores.

Vamos escrever a equação característica da nossa questão:

4 r 2 + 4 r + 3 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara para achar as raízes:

r = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

r 1 = - 4 + 16 - 4 4 3 2 × 4 = - 4 + 4 2 i 8 = - 1 2 + 2 2 i

r 1 = - 4 - 16 - 4 4 3 2 × 4 = - 4 - 4 2 4 = - 1 2 - 2 2 i

Passo 2

Encontramos no passo anterior as raízes complexas! Portanto, a solução geral pode ser escrita da seguinte forma:

y = e - x 2 C 1 cos ⁡ 2 2 x + C 2 sen ⁡ 2 2 x

Vamos aplicar os valores iniciais dados para encontrarmos as constantes! Quando y 0 = 0 :

0 = 1 ( C 1 cos ⁡ 0 + C 2 sen ⁡ ( 0 ) )

C 1 = 0

Para aplicarmos o segundo valor, precisamos derivar a solução geral. Assim,

y ' = - 1 2 e - x 2 C 1 cos ⁡ 2 2 x + C 2 sen ⁡ 2 2 x + e - x 2 - C 1 sin ⁡ 2 2 x 2 2 + C 2 cos ⁡ 2 2 x 2 2

Aplicando o valor y ' 0 = 1 :

1 = C 2 cos ⁡ 2 2 ( 0 ) 2 2

C 2 = 2

Assim, a solução final é igual a:

y = e - x 2 2 sen ⁡ 2 2 x

Resposta

A solução final da equação é:

y = e - x 2 2 sen ⁡ 2 2 x

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