Enunciado

Resolva os problemas de valor inicial.

4 y^(' ') + 4 y^' + 3 y = 0 , y ( 0 ) = 0 , y^' (0) = 1

Passo 1

Galerinha, se tivermos uma equação diferencial de segunda ordem da forma

a y^(' ') + b y^' + c y = 0

uma solução pode ser encontrada através das raízes da equação auxiliar (ou equação característica) que é escrita como

a r^2 + b r + c = 0

As raízes dessa equação vão ajudar a dar forma a solução da equação diferencial. A tabela abaixo nos dá as possibilidades de raízes e suas respectivas formas de soluções gerais.

As constantes C_1 e C_2 podem ser encontradas através dos problemas de valor inicial! São dados dois valores para serem substituídos na solução geral a fim de encontrarmos esses valores.

Vamos escrever a equação característica da nossa questão:

4 r^2 + 4 r + 3 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara para achar as raízes:

r = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

r_1 = (- 4 + sqrt(16 - 4 (4) (3)))/(2 xx 4) = (- 4 + 4 sqrt(2) i)/(8) = - (1)/(2) + (sqrt(2))/(2) i

r_1 = (- 4 - sqrt(16 - 4 (4) (3)))/(2 xx 4) = (- 4 - 4 sqrt(2))/(4) = - (1)/(2) - (sqrt(2))/(2) i

Passo 2

Encontramos no passo anterior as raízes complexas! Portanto, a solução geral pode ser escrita da seguinte forma:

y = e^(- (x)/(2)) (C_1 cos ((sqrt(2))/(2) x) + C_2 sen ((sqrt(2))/(2) x))

Vamos aplicar os valores iniciais dados para encontrarmos as constantes! Quando y (0) = 0 :

0 = 1 ( C_1 cos (0) + C_2 sen ( 0 ) )

C_1 = 0

Para aplicarmos o segundo valor, precisamos derivar a solução geral. Assim,

y^' = - (1)/(2) e^(- (x)/(2)) (C_1 cos ((sqrt(2))/(2) x) + C_2 sen ((sqrt(2))/(2) x)) + e^(- (x)/(2)) (- (C_1 sin ((sqrt(2))/(2) x) sqrt(2))/(2) + (C_2 cos ((sqrt(2))/(2) x) sqrt(2))/(2))

Aplicando o valor y^' (0) = 1 :

1 = (C_2 cos ((sqrt(2))/(2) ( 0 )) sqrt(2))/(2)

C_2 = sqrt(2)

Assim, a solução final é igual a:

y = e^(- (x)/(2)) (sqrt(2) sen ((sqrt(2))/(2) x))

Resposta

A solução final da equação é:

y = e^(- (x)/(2)) (sqrt(2) sen ((sqrt(2))/(2) x))

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