Enunciado

Mostre que, se a_n > 0 e underset(n -> oo)(lim) n a_n != 0 , então sum a_n é divergente.

Passo 1

Vamos usar o teste da comparação de limite.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida b_n e outra não a_n e então calculamos o seguinte limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = c

Se c for um número finito e c > 0 , ambas as séries convergem ou divergem.

Passo 2

Usando o teste da comparação por limite, podemos comparar a série dada com a série harmônica

b_n = (1)/(n)

Então aplicando o limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(1 // n) = underset(n -> oo)(lim) n a_n

Se esse limite for finito e diferente de 0 , então ambas as séries convergem ou divergem, pelo teste da comparação por limite e se o limite for oo , como sum b_n diverge, como demonstrado na questão 41, sum a_n também diverge.

Então para que sum a_n convirja, é necessário que este limite seja 0 , mas isso não implica na convergência da série.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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