Enunciado

46. a) Mostre que e x ≥ 1 + x se x ≥ 0 .

b) Mostre que e x ≥ 1 + x + 1 2 x 2 se x ≥ 0 .

c) Confirme as desigualdades de a) e b) com algum recurso gráfico computacional.

Passo 1

a) Então galera, a princípio temos o seguinte:

e x - 1 - x ≥ 0

Para x = 0 temos que o lado esquerdo da inequação da zero mesmo, então a igualdade não precisamos provar. No entanto, quanto à crescência teremos que utilizar o conceito de derivada primeira. A derivada primeira irá nos fornecer a prova necessária para demonstrar que, de fato, a função que escrevemos só é crescente quando x ≥ 0 . Sendo assim, derivando:

e x - 1 ≥ 0

Agora o que devemos fazer é analisar os dois casos possíveis, que é para f ' x > 0 e para f ' x = 0 , então bora lá!

Passo 2

Para o primeiro caso:

e x - 1 > 0

e x > 1

Aplicando l n em ambos os membros da inequação, teremos:

ln ⁡ e x > ln ⁡ 1

x . ln ⁡ e > ln ⁡ 1

Como ln ⁡ 1 = 0 , então:

x > 0

Show de bola, agora para o segundo caso:

e x - 1 = 0

e x = 1

Aplicando l n em ambos os membros:

ln ⁡ e x = ln ⁡ 1

x = 0

Sendo assim, de acordo com nossa derivada conseguimos concluir que, de fato, e x ≥ 1 + x se x ≥ 0 .

Passo 3

b) Assim como na letra a), aqui temos o seguinte:

e x - 1 - x - 1 2 x 2 ≥ 0

Para x = 0 temos que o lado esquerdo da inequação da zero mesmo, então a igualdade não precisamos provar. No entanto, quanto à crescência teremos que utilizar o conceito de derivada primeira. A derivada primeira irá nos fornecer a prova necessária para demonstrar que, de fato, a função que escrevemos só é crescente quando x ≥ 0 . Sendo assim, derivando:

e x - 1 - x ≥ 0

Agora o que devemos fazer é analisar os dois casos possíveis, que é para f ' x > 0 e para f ' x = 0 , então bora lá!

Passo 4

Para o primeiro caso:

e x - x > 1

Essa solução só é válida para x > 0 . Já para o segundo caso:

e x - x = 1

Já para esse caso a solução só é válida para x = 0 , como esperávamos! Sendo assim, de acordo com nossa derivada conseguimos concluir que, de fato, e x ≥ 1 + x + 1 2 x 2 se x ≥ 0 .

Passo 5

c) Então galera, se plotarmos os gráficos das funções da letra a), ou seja:

y = e x

y = 1 + x

Teremos:

No qual a função em azul é y = 1 + x e a função em vermelho é y = e x . Pelo gráfico conseguimos notar que para x ≥ 0 a função y = e x é maior do que y = 1 + x .

Agora plotando os gráficos da letra b):

y = e x

y = 1 + x + 1 2 x 2

Teremos:

No qual a função em vermelho é y = e x e a função em azul é y = 1 + x + 1 2 x 2 . Pelo gráfico também conseguimos notar que para x ≥ 0 a função y = e x   é maior do que y = 1 + x + 1 2 x 2 . Uma ressalva é que isso não ocorre para x < 0 , como podemos notar.

E essa é a nossa análise da questão, pessoal!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Se f for crescente em um intervalo 0 ,b , segue da Definição 4.1 . 1 que f 0f x com qualquer x do intervalo 0 ,b . Use esse resultado nesses exercícios.Use um recurso gráfico computacional para fazer