Enunciado

A partir do Exercício 57, o polinômio f x = x 3 + b x 2 + 1 tem um ponto de inflexão. Use um recurso gráfico computacional para tirar conclusões sobre o papel da constante b na localização do ponto de inflexão. Use f ' ' para explicar o que observou graficamente.

Passo 1

Então galera, de início vamos encontrar esse ponto de inflexão que o enunciado comentou, ok? Para fazermos isso temos que encontrar a derivada segunda da nossa função e igualar a zero, se liga:

f x = x 3 + b x 2 + 1

Derivando pela primeira vez:

f ' x = 3 x 2 + 2 b x

Pela segunda vez:

f ' ' x = 6 x + 2 b

Ok, agora que derivamos vamos igualar a zero:

6 x + 2 b = 0

x = - b 3

De fato a questão está certa, a função em questão só possui um ponto de inflexão, que é exatamente em x = - b 3 .

Passo 2

Antes de analisarmos b , vamos plotar o gráfico de f :

Neste gráfico fizemos b = 1 . Quando alteramos o valor de b o gráfico muda de comportamento, mas de duas maneiras: quando b < 1 o ponto de inflexão é deslocado para a direita e quando b > 1 o ponto de inflexão é deslocado para a esquerda. E essa é a nossa análise do problema, galera!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Analise a função trigonométrica f no intervalo especificado, enunciando onde f é crescente, decrescente, côncava para cima e côncava para baixo e dando as coordenadas x de todos os pontos de inflexão.
Encontre: (a) os intervalos onde f é crescente, (b) os intervalos onde f é decrescente, (c) os intervalos abertos onde f é côncava para cima, (d) os intervalos abertos onde f é côncava para baixo e (e
Em cada parte, esboce o gráfico de uma função f com as propriedades indicadas e discuta os sinais de f ' e f ' ' (d) A função f é côncava para baixo e decrescente no intervalo ( - ∞ , + ∞ )
Em cada parte, esboce o gráfico de uma função f com as propriedades indicadas e discuta os sinais de f ' e f ' ' (a) A função f é côncava para cima e crescente no intervalo ( - ∞ , + ∞ )
Em cada parte, esboce o gráfico de uma função f com as propriedades indicadas e discuta os sinais de f ' e f ' ' (b) A função f é côncava para baixo e crescente no intervalo ( - ∞ , + ∞ )