Enunciado

  1. Mostre que f x =   x 3 - 3 x 2 + 2 x não é injetora em ( - ∞ ,   + ∞ )
  2. Encontre o maior valor de k , tal que f é injetora no intervalo ( - k ,   k ) .

Passo 1

(a)

Primeiro vamos lembrar o que é uma função injetora: é aquela que dado um valor de f ( x ) , só existe um x que leva a função nesse valor.

Então se a gente achar pelo menos dois caras distintos x 0 e x 1 , tal que f x 0 = f ( x 1 ) já mostramos que ela não é injetora.

Passo 2

Beleza, mas como descobrir quem são esses caras? Se a gente olhar com calma a gente consegue fatorar um pouco nossa expressão:

f x =   x 3 - 3 x 2 + 2 x

Colocando x em evidência:

f x = x x 2 - 3 x + 2

Essa expressão do segundo grau aí dentro também é favorável, olha só:

x 2 - 3 x + 2 = x - 1 ( x - 2 )

Então f x = x x - 1 ( x - 2 )

Olha com calma, tá vendo que para x = 0 ,     x = 1   e   x = 2 a expressão vai pro mesmo valor?

Ou seja f 0 = f 1 = f 2 = 0 . Então nossa função de fato não é injetora no intervalo ( - ∞ ,   + ∞ ) .

Passo 3

Podemos chegar nisso também utilizando o fato de que se a função é injetora no intervalo, então ela também é estritamente crescente ou estritamente decrescente nesse intervalo, e para isso dizemos que se:

f ' x > 0           o u           f ' x < 0

No intervalo dado, a função é injetiva nesse intervalo.

No nosso caso:

f ' x = ( x 3 - 3 x 2 + 2 x ) '

f ' x =   3 x 2 - 6 x + 2

Como no nosso caso f ' ( x ) pode assumir tanto valores negativos quanto positivos no intervalo ( - ∞ ,   + ∞ ) , ela não nem estritamente crescente nem estritamente decrescente, então ela não é injetiva nesse intervalo.

Passo 4

(b)

Precisamos achar o maior valor de k tal que a nossa f x seja injetora no intervalo - k ,   k , porém já vimos que para x = 0   e   x = 1 , f 0 = f 1 , então se o intervalo que a gente quer descobrir contiver esses dois valores, a função já não será injetora.

Logo a gente conclui que com certeza k ≤ 1 , pois se k > 1 o intervalo - k ,   k   vai conter x = 0   e   x = 1 , e a função não vai ser injetiva.

Massss pensa comigo, se

f 0 = f 1 = 0

Então ela tem mais ou menos essa cara aqui, ou algo parecido:

Tá vendo que tem carinhas ali entre 0   e   1 que possuem a mesma imagem? Então se pegarmos o k = 1 não vamos estar garantindo que é injetiva no intervalo.

Precisamos então achar esse ponto extremo da nossa função que está entre 0   e   1

Passo 5

Para achar esses valores de extremo vamos derivar nossa função e igualar ela a zero ( f ' x = 0 ):

f ' ( x ) = x 3 - 3 x 2 + 2 x ' = 0  

f ' ( x ) =   3 x 2 - 6 x + 2 = 0

Então

x = 3 + 3 3             o u           x = 3 - 3 3  

Como x = 3 + 3 3   não está entre 0   e   1 , então o ponto que nos interessa é   x = 3 - 3 3  

Opaaa então temos que a função é injetora no intervalo ( - 3 - 3 3 , 3 - 3 3 ).

Logo k = 3 - 3 3

Resposta

  1. Mostrado no desenvolvimento
  2.   k = 3 - 3 3
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Ache ( f - 1 ) ' ( d ) . f x = x 3 + 5 ;d = - 3
f x = ∫ x 2 t d t ,x0 ; d = - 6