Enunciado

Nos exercícios de 29 a 34, faça o seguinte: ( a ) resolva a equação para y em termos de x e expresse y como uma ou mais função de x ; ( b )   para cada função obtida em ( a ) determine se a função tem inversa e se tiver, determine o domínio da função inversa; ( c )   use a derivação implícita para encontrar d y d x e d x d y e determine os valores de x e y para os quais d y d x e d x d y são recíprocos.

31 )   x y = 4

Passo 1

( a ) Resolvendo a equação para y teremos:

x y = 4

y = 4 x

Passo 2

( b ) Vamos analisar a função para vermos se há ou não uma inversa. Lembrado que para existir inversa a função precisa ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ou seja, bijetora!

Neste caso note que se trata de uma função reciproca, logo, pelo gráfico, podemos determinar que y é bijetora.

Note ainda, pelo gráfico, que a   I m a y = D y - 1 = R - 0

Passo 3

( c ) Derivando implicitamente em função de x :

x y = 4

y + x d y d x = 0

Isolando d y d x teremos:

d y d x = - y x

Agora derivando implicitamente em função de y :

x y = 4

d x d y y + x = 0

Isolando d x d y teremos:

d x d y = - x y

Passo 4

Por fim vamos analisar os resultados obtidos no passo anterior:

d x d y = - x y

d x d y = 1 - x y    

Contudo, sabemos que: d y d x = - y x

Então teremos :

d x d y = 1 d y d x

Assim concluímos que d x d y e   d y d x   serão recíprocos desde que x ≠ 0 e y ≠ 0 .

Resposta

a   y = 4 x

( b )   D y - 1 = R - 0

c d x d y = - x y e d y d x = - y x para x ≠ 0 e y ≠ 0 .

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