Enunciado

(a) Mostre que f ( x )   =   x 4   -   2 x 3 não é injetora em ( - ∞   ,   + ∞ ) .

(b) Encontre o menor valor de k , tal que f é injetora no intervalo [ k ,   + ∞ ) .

Passo 1

(a)

Primeiro vamos lembrar o que é uma função injetora: é aquela que dado um valor de f ( x ) , só existe um x que leva a função nesse valor.

Então se a gente achar pelo menos dois caras distintos x 0 e x 1 , tal que f x 0 = f ( x 1 ) já mostramos que ela não é injetora.

Passo 2

Beleza, mas como descobrir quem são esses caras? Se a gente olhar com calma a gente consegue fatorar um pouco nossa expressão:

f ( x )   =   x 4   -   2 x 3

Colocando x 3 em evidência:

f ( x )   =   x 3 ( x   -   2 )

Olha com calma, tá vendo que para x = 0   e   x = 2 a expressão vai pro mesmo valor?

Ou seja f 0 = f 2 = 0 . Então nossa função de fato não é injetora no intervalo ( - ∞ ,   + ∞ ) .

Passo 3

Podemos chegar nisso também utilizando o fato de que se a função é injetora no intervalo, então ela também é estritamente crescente ou estritamente decrescente nesse intervalo, e para isso dizemos que se:

f ' x > 0           o u           f ' x < 0

No intervalo dado, a função é injetiva nesse intervalo.

No nosso caso:

f ' ( x )   =   ( x 4   -   2 x 3 ) '  

f ' x =   4 x 3 - 6 x 2

Como no nosso caso f ' ( x ) pode assumir tanto valores negativos quanto positivos no intervalo ( - ∞ ,   + ∞ ) , ela não nem estritamente crescente nem estritamente decrescente, então ela não é injetiva nesse intervalo.

Passo 4

(b)

Precisamos achar o menor valor de k tal que a nossa f x seja injetora no intervalo [ k ,   + ∞ ) , porém já vimos que para x = 0   e   x = 2 ,   f 0 = f 2 , então se o intervalo que a gente quer contiver esses dois valores, a função já não será injetora.

Logo a gente conclui que com certeza k > 0 , pois se k ≤ 0   o intervalo [ k ,   + ∞ ) vai conter x = 0   e   x = 2 , e a função não vai ser injetiva.

Massss pensa comigo, se

f 0 = f 2 = 0

Então a função tem mais ou menos essa cara aqui, ou algo parecido:

Poderíamos pegar k = 2 mas não seria o menor valor possível concorda? E tá vendo que tem carinhas ali entre 0   e   2 que possuem a mesma imagem?

Precisamos descobrir aquele pontinho entre 0   e   2 extremo ali, que garante que a partir dele cada valor de f x   está relacionado a apenas um valor de x .

Passo 5

Para achar esses valores de extremo vamos derivar nossa função e igualar ela a zero ( f ' x = 0 ):

f ' ( x )   =   ( x 4   -   2 x 3 ) ' = 0  

f ' x =   4 x 3 - 6 x 2 = 0

Então

x = 0             o u           x = 3 2

Como k > 0 , então o ponto que nos interessa é   x = 3 / 2

Opaaa então temos que a função é injetora no intervalo ( 3 2 ,   + ∞ ).

Logo k = 3 2

Resposta

  1. Mostrado no desenvolvimento
  2.   k = 3 2
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