1.

Seja f x , y = a x 2 + 3 x y + y 2 , onde a ≠ 9 / 4 .

  1. Determine o ponto crítico de f
  2. Determine, se possível, os valores de a , de modo que o ponto crítico seja:
    1. Ponto de máximo local
    2. Ponto de mínimo local
    3. Ponto de sela
  3. Se a = 9 / 4 , o que se pode dizer sobre o ponto crítico de f encontrado em 1.?
Resolução
2.

Seja f x , y = x 4 + y 10 . Então ( 0,0 ) :

(a) é ponto crítico e ponto de sela;

(b) é ponto crítico e ponto de mínimo local;

(c) não é ponto crítico

(d) é ponto crítico e ponto de máximo local;

(e) nenhuma das anteriores;

Resolução
3.

Seja f x , y = x 4 - y 4 . Então ( 0,0 ) :

(a) nenhuma das outras alternativas

(b) é ponto crítico e ponto de sela.

(c) é ponto crítico e ponto de mínimo local.

(d) é ponto crítico e ponto de máximo local.

(e) não é ponto crítico.

Resolução
4.

O discriminante f x x f y y - f x y 2 é zero na origem pra cada uma das funções a seguir, de modo que o teste da derivada segunda falha. Determine se a função tem um máximo, um mínimo ou nenhum dos dois na origem, imaginando como é a superfície z = f x , y . Descreva seu raciocínio em cada caso.

a) f x , y = x 2 y 2

b) f x , y = x 3 y 3

Resolução
5.

Seja

f x , y = x 4 - y 4

O ponto 0,0

  1. É ponto de sela
  2. É ponto de mínimo local
  3. É ponto de máximo local
  4. Não é ponto critico
  5. Nenhuma das outras alternativas
Resolução
6.

Seja f x , y = x 4 + y 10 . Então ( 0,0 ) :

(a) é ponto crítico e ponto de sela;

(b) é ponto crítico e ponto de mínimo local;

(c) não é ponto crítico

(d) é ponto crítico e ponto de máximo local;

(e) nenhuma das anteriores;

Resolução
7.

Determine os pontos críticos da função f x , y = x 4 + y 4 - 2 x 2 + 4 x y - 2 y 2 e classifique-os, justificando, quanto a máximo local, mínimo local ou sela.

Resolução
8.

Seja

f x , y = x 4 + y 4

Então ( 0,0 ) é:

  1. Ponto de máximo local e não absoluto
  2. Ponto de mínimo local e não absoluto
  3. Ponto de sela
  4. Ponto de mínimo local e absoluto
Resolução
9.
  1. Sejam f x , y = 3 x 4 + 2 y 4 e g x , y = x 5 - 2 y 5 , mostre que tais funções tem 0,0 como único ponto crítico e classifique-o para cada função.
Resolução
10.

Os pontos na superfície de um vulcão são modelados sobre a região d o m V = x 2 + y 2 ≤ 6400 por

V x , y = 88 - r 2 400 - 4 r 2 400 - 14 ,   r = x 2 + y 2

  1. Determine e classifique os pontos críticos de V .
  2. Determine o diâmetro e a profundidade da cratera.
  3. Após um tremor, uma pedra se desprende da superfície sobre o ponto P = 20,0 ∈ D o m V ; supondo que ela siga para baixo na direção de maior inclinação, determine se ela rolará para dentro ou para fora da cratera.
Resolução
11.

Seja f x , y = x 3 + 2 y 2 + x y - 2 x + 5 y . Com relação ao ponto P = - 1 , - 1 , podemos afirmar que:

  1. P é um ponto de sela
  2. P é um ponto de mínimo local
  3. P é um ponto de máximo local
  4. P nao é um ponto critico
  5. P é um ponto crítico, mas o teste da segunda derivada resulta inconclusivo
  6. nenhuma das demais alternativas é correta.
Resolução
12.

Seja f x , y = x 4 - y 4 . Então ( 0,0 ) :

(a) nenhuma das outras alternativas

(b) é ponto crítico e ponto de sela.

(c) é ponto crítico e ponto de mínimo local.

(d) é ponto crítico e ponto de máximo local.

(e) não é ponto crítico.

Resolução

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