Enunciado

Mostre que f x , y = x 2 y e - x 2 - y 2 tem valores máximos em ± 1 , 1 2 e valores mínimos em ± 1 ,   - 1 2 .Mostre também que f tem infinitos outros pontos críticos e que D = 0 em cada um deles. Quais deles dão origem a valores máximos? E a valores mínimos? E a pontos de sela?

Passo 1

Vamos calcular as derivadas parciais da função:

f x = 2 x y e - x 2 - y 2 + x 2 y e - x 2 - y 2 - 2 x

f x = 2 x y 1 - x 2 e - x 2 - y 2

f y = x 2 y e - x 2 - y 2 - 2 y + x 2 e - x 2 - y 2

f y = x 2 1 - 2 y 2 e - x 2 - y 2

As derivadas parciais segundas agora:

f x x = 2 y 2 x 4 - 5 x 2 + 1 e - x 2 - y 2

f y y = 2 x 2 y 2 y 2 - 3 e - x 2 - y 2

f x y =   2 x 1 - x 2 ( 1 - 2 y 2 ) e - x 2 - y 2

Passo 2

Pra ser ponto crítico precisamos de x   e   y que:

2 x y 1 - x 2 e - x 2 - y 2 = 0 x 2 1 - 2 y 2 e - x 2 - y 2 = 0

Para a primeira zerar, precisamos que x = 0   o u   y = 0   o u   x = ± 1 . Jogando esses valores na segunda encontramos os pontos críticos:

0 , y ,   0,0 ,   ± 1 , 1 2 e   ± 1 ,   - 1 2

Se x = 0 , as derivadas zeram apara qualquer valor de y , ou seja, qualquer ponto da forma ( 0 , y ) é um ponto crítico. São pontos infinitos.

Passo 3

Vamos ver o D agora. O D é o seguinte:

D = f x x f y y - f x y 2

Se x = 0 , todas as derivadas segundas vão zerar, então nem precisamos fazer dessas. O D = 0   em cada ponto 0 , y .

Vamos fazer só as dos pontos em que x = ± 1 :

D   ± 1 , 1 2 = 8 e - 3 > 0

f x x ± 1 , 1 2 = - 2 2 e - 3 2 ; p o n t o   d e   m á x i m o

D ± 1 ,   - 1 2 = 8 e - 3   < 0

f x x ± 1 ,   - 1 2 =   2 2 e - 3 2 ; p o n t o   d e   m í n i m o

Provamos então que temos ponto de máximo em ± 1 , 1 2 e pontos de mínimo em ± 1 ,   - 1 2 .

Passo 4

Pelo teste da derivada segunda nós não pudemos definir se os pontos críticos da forma ( 0 , y ) são pontos de máximo ou de mínimo, mas vamos substituir esse ponto na função...

f 0 , y = 0 2 y e - 0 2 - y 2

= 0

E veja que a função é sempre maior que zero de y > 0 .

Ou seja, se y > 0 , os pontos da forma ( 0 , y ) são pontos de mínimo. E se y < 0 os pontos da forma 0 , y são pontos de máximo. E o ponto ( 0,0 ) é um ponto de sela.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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