Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 22
Mostre que tem valores máximos em e valores mínimos em .Mostre também que tem infinitos outros pontos críticos e que em cada um deles. Quais deles dão origem a valores máximos? E a valores mínimos? E a pontos de sela?
Passo 1
Vamos calcular as derivadas parciais da função:
As derivadas parciais segundas agora:
Passo 2
Pra ser ponto crítico precisamos de que:
Para a primeira zerar, precisamos que . Jogando esses valores na segunda encontramos os pontos críticos:
Se , as derivadas zeram apara qualquer valor de , ou seja, qualquer ponto da forma é um ponto crítico. São pontos infinitos.
Passo 3
Vamos ver o agora. O é o seguinte:
Se , todas as derivadas segundas vão zerar, então nem precisamos fazer dessas. O em cada ponto
Vamos fazer só as dos pontos em que :
Provamos então que temos ponto de máximo em e pontos de mínimo em
Passo 4
Pelo teste da derivada segunda nós não pudemos definir se os pontos críticos da forma são pontos de máximo ou de mínimo, mas vamos substituir esse ponto na função...
E veja que a função é sempre maior que zero de
Ou seja, se , os pontos da forma são pontos de mínimo. E se os pontos da forma são pontos de máximo. E o ponto é um ponto de sela.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)